热门试卷

正四棱锥P﹣ABCD中，，∴OA=OB=OP=1

建立如图所示的空间直角坐标系，

则有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）

∵M是PA的中点，

∴M（），=（1，0，﹣1），=（0，﹣1，﹣1）

设平面PAD的法向量为=（x，y，1），则由，可得=（1，﹣1，1）

∵=（）

∴cos＜＞==

∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为。

解析：（1）当为中点，即时，平面，理由如下：连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故平面。

（2）作于，连结，∵面，四边形是正方形，

∴，又∵，，∴，

∴，且，∴是二面角的平面角， 即，∵⊥面，∴就是与底面所成的角连结，则，，，∴，∴，∴，∴∴与底面所成角的正切值是，另解：用向量法请参照给分。

解法一：（1）由矩形变换成平行四边形可以看成先将矩形绕着点旋转，得到矩形，然后再将矩形作切变变换得到平行四边形。

故旋转变换矩阵为：

切变变换：，

切变变换矩阵为

矩阵，

解法二：（1）设矩阵，则点，，

故：，，

即：

解得：，　　　。

解析：（1）在上均为单调递增的函数.               …… 1分

对于函数，设 ，则

，

，

函数在上单调递增.               …… 3分

（2） 原式左边

.                                           …… 5分

又原式右边.

 .               …… 6分

（3）当时，函数在上单调递增，

 的最大值为，最小值为.

当时，， 函数的最大、最小值均为1.

当时，函数在上为单调递增。

 的最大值为，最小值为.

当时，函数在上单调递减，

 的最大值为，最小值为.                  …… 9分

下面讨论正整数的情形：

当为奇数时，对任意且

 ，

以及 ，

 ，从而 .

 在上为单调递增，则

的最大值为，最小值为.                    …… 11分

当为偶数时，一方面有 .

另一方面，由于对任意正整数，有

，

.

 函数的最大值为，最小值为.

综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.

当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 13分

（1）取的中点，连结，，

，，，

四边形为平行四边形， 从而，

面，面

面          ………………………………………………………………2分

，，

四边形为平行四边形

，且

又是正方形，，且

故为平行四边形，

面，面

面          ………………………………………………………………4分

，面面

面，面          ………………………………………6分

（2）四边形为正方形, ,

， 

由勾股定理可得：， ，

，面 ，

，

由勾股定理可得：，                                    …………………………………8分

故以为原点，以为轴建立坐标系如图，则，

，所以，，，.

设面的法向量为，由

，令，则

设面的法向量为，则

则，令，则         …………………………10分

所以

设二面角的平面角为，

所以        ……………………………………………………12分

（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，

∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0)。

∵·＝×1－×1－a×0＝0，·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

（2）解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量。

设AD＝1，则N，∴。

∵为平面ABCD的法向量，，(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝，

∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG⊂面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB，∴BG⊥PB，∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，

∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0)。

∵·＝×1－×1－a×0＝0，·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

（2）解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵＝，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量。

设AD＝1，则N(，，)，∴＝(，，)。

∵为平面ABCD的法向量，＝(0,0，)，(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，

∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG⊂面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB，∴BG⊥PB，∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解析：（1）∵在底面上的射影在线段上且靠近点,

∴底面.连,则.设,为的中点,

则,.∴在中,.在中,.

在中,,解得.故点到底面的距离为.

（2）∵,∴.过作于,连结,则为二面角 的平面角.∵,∴

解析： （1）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.

由 是直三棱柱，

得 四边形为矩形，为的中点。

又为中点，所以为中位线，

所以 ∥，                                  ……2分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面.                           …………4分

（2）由是直三棱柱，且，故两两垂直。

如图建立空间直角坐标系.       

                   …………5分

，则.

所以 ，

设平面的法向量为，则有

所以  取，得.  …………………… …6分

易知平面的法向量为.                 ………7分

由二面角是锐角，得 .……………8分

所以二面角的余弦值为.

（3）假设存在满足条件的点.

因为在线段上，，，故可设，其中.

所以 ，.      ………………………9分

因为与成角，所以.     ………………………10分

即，解得，舍去.   ……………………11分

所以当点为线段中点时，与成角.    ………………………12分