曲线与方程
共147题

曲线与方程
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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知曲线：和曲线：，则上到的距离等于的点的个数为。

正确答案

解析

将方程与化为直角坐标方程得

与，知为圆心在坐标原点，半径为

的圆，为直线，因圆心到直线的距离为，故满足条件的点的个数.

知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点。

（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取最大值时对应的x值）；

（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）

正确答案

（1）药量峰值为4mg，达峰时间为1小时（2）3.85小时

解析

解析：（1）由曲线过点，可得，故　　　……………………2分

当时，， ……………………3分

当时，设，可知，

（当且仅当时，） ……………………5分

综上可知，且当取最大值时，对应的值为1

所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时。 ……………………6分

（2）当时，由，可得，

解得，又，故。 ……………………8分

当时，设，则，

由，可得，解得，

又，故，所以，

可得，　　　　　　　　 …………………………………………12分

由图像知当时，对应的的取值范围是，

∵，

所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约小时的有效时间。 …………14分

【另法提示：可直接解不等式，得出x的取值范围，然后求出有效时间】

知识点

定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

在直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程可写为_______

正确答案

解析

在直角坐标系xoy中，曲线C是以点(-2，0)为圆心，以2为半径的圆，如图设是曲线C上任意一点，在Rt△OPA中，易得，即曲线C的极坐标方程为

。

知识点

定义法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

若曲线有唯一的公共点，则实数m的取值集合中元素的个数为

正确答案

解析

略

知识点

定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为。

正确答案

解析

略

知识点

定义法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

直线与曲线有四个交点，则的取值范围是

正确答案

解析

如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，的取值必须满足解得.

知识点

定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

在极坐标系中，曲线与（a>0，）的交点的极坐标为 ▲ 。

正确答案

解析

两式相除得

知识点

定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为。

正确答案

解析

略

知识点

定义法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

曲线在点处的切线方程为

正确答案

解析

，由

知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足。

（1）求动点所在曲线的轨迹方程；

（2）过点作斜率为的直线交曲线于两点，且满足(O为坐标原点)，试判断点是否在曲线上，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）依据题意，有。

∵，

∴。

∴动点P所在曲线C的轨迹方程是。

（2）因直线过点，且斜率为，故有。

联立方程组，得。

设两曲线的交点为、，可算得。

又，于是，可得点。

将点的坐标代入曲线C的方程的左边，有(=右边)，即点的坐标满足曲线的方程。

所以点在曲线上。

知识点

定义法求轨迹方程

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