曲线与方程
共147题

曲线与方程
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题型：简答题

简答题 · 13 分

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 F ,T ,R ，S满足，。

（1）当t变化时，求点S的轨迹方程C；

（2）过动点T（t0）向曲线C作两条切线，切点分别为A,B, 求证：为定值，并求出这个定值；

（3）在（2）的条件下，探索直线AB是否过定点，若过定点，求出该点；若不过定点，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知条件有 ,则点S的轨迹是以F(0，1)为焦点，y=为准线

的抛物线，且p=2 ，所以曲线C：

（2）设过点T且与抛物线相切的切线方程为

联立方程得（）

直线与抛物线相切， =0 即

是方程（）的两个根，

（3）设

即，

同理，切线TB方程为

又 TA,TB都过点T（t，-1），则：

直线AB的方程为，则其过定点（0,1）。

知识点

定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

选做题：第14、15题为选做题。

14.已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为，，，则曲线C1与C2交点的极坐标为__________。

15.已知是圆的切线，切点为，，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，，则圆O的面积为__________。

正确答案

14.　　15.

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知识点

定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

11.曲线在处的切线的斜率（）

正确答案

解析

，所以切线的斜率，故答案为2。

知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 18 分

23.已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足．设动点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的轨迹方程；

(2)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；

(3)已知点是曲线上的两个动点，若(是坐标原点)，试证明：原点到直线的距离是定值．

正确答案

见解析。

解析

(1)依据题意，动点满足.

又，

因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且．

所以，所求曲线的轨迹方程是．

(2) 设是曲线上任一点．依据题意，可得．

是直径，

．又，

＝．

由，可得，即．

．

的取值范围是．

(3)证明：设原点到直线的距离为，且是曲线上满足的两个动点．

若点在坐标轴上，则点也在坐标轴上，有，即．

若点不在坐标轴上，可设．

由得

设点，同理可得，

于是，，，．

利用，得．

综合可知，总有，即原点到直线的距离为定值．

知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

22. 如图，和是平面上的两点，动点满足：

（1）求点的轨迹方程；

（2）若,且为第一象限点，求点的坐标.

正确答案

解析

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知识点

直线与圆锥曲线的综合问题定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．若对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线的切线，则实数a的取值范围是____________．

正确答案

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定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

13．已知曲线平行，则实数 _____。

正确答案

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定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

20.在中，，动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA|+|PB|为常数。

（1）求曲线E的方程；

（2）是否存在直线L，使L与曲线E交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出L的斜率的取值范围；若不存在说明理由。

正确答案

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知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．已知点F(1，0)，直线：x=2，设动点P到直线的距离为d，已知|PF|=d且

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若=，求向量与的夹角。

正确答案

（1）所求的点P轨迹方程为

（2）向量与的夹角为

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知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知定点，B是圆（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E.

（1）求动点E的轨迹方程；

（2）设直线与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：OPQ面积的最大值及此时直线的方程.

正确答案

解：（1）由题知

又

点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

E的轨迹方程为

（2）设，PQ的中点为

将直线与联立得

，即 ①

又

依题意有，整理得 ②

由①②可得，

设O到直线的距离为，则

当时，的面积取最大值1，此时，

直线方程为

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知识点

直线的一般式方程直线与圆锥曲线的综合问题定义法求轨迹方程

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