曲线与方程
共147题

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题型：填空题

填空题 · 4 分

15.如图，在边长为的正方形中，为正方形边上的动点，

现将△所在平面沿折起，使点在平面上的射影

落在直线上.当从点运动到点，再从点运动到点，

则点所形成轨迹的长度为 ▲ .

正确答案

解析

由题意，在平面AED内过点D作，H为垂足，由翻折的特征知，连接D'H．

则，

当E从点D运动到C，再从C运动到B，故H点的轨迹是以AD'为直径的半圆弧，

根据边长为2的正方形ABCD知圆半径是1，

所以其所对的弧长为π，

故答案为：π

考查方向

本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点H的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变．本题是一个中档题目

解题思路

根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，在平面AED内过点D作，H为垂足，由翻折的特征知，连接D'H，则，当E从点D运动到C，再从C运动到B，故H点的轨迹是以AD'为直径的半圆弧，根据长方形的边长得到圆的半径，利用弧长公式求出轨迹长度．

易错点

主要易错于信息的转化失败，导致计算出错

知识点

定义法求轨迹方程直接法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．在平面直线坐标系XOY中，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中，且。

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线（）相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：是定值；

（3）在（2）条件下，若双曲线的离心率不大于，求该双曲线实轴的取值范围。

正确答案

（1）设C（）则

（2）设M（）

N（）则，

韦达定理代入得

（定值）

（3）

又

代入得

解析

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知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

19．已知函数（）的图象为曲线。

（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；

（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由。

正确答案

解析

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知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

18．已知曲线C：.

（1）证明：不论取何实数，曲线C必过定点；

（2）当时，若曲线C与直线相切，求的值.；

（3）对所有的且，是否存在直线与曲线C总相切？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由。

正确答案

解析

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知识点

定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

3．若曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）

正确答案

（1，0）

解析

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知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．如图，已知椭圆的左右焦点分别为．，椭圆的下顶点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆。

（1）若圆过原点，求圆的方程；

（2）当圆的面积为时，求所在直线的方程；

（3）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．

正确答案

（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的端轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，

圆的方程为或。

解法二：设，因为圆过原点，所以，

所以，所以，，点

于是点的坐标为或，

圆的方程为或。

（2）设圆的半径为，由题意，，，所以

设，则。联立，解得（舍去），

所以点或．所以或，

所以直线的方程为或

（3）以原点为圆心，为半径的定圆始终与圆相内切。定圆的方程为

探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，

因为，

所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切。

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知识点

定义法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

12. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为，在正方体表面上与点A距离是的点形成一

条封闭的曲线，这条曲线的长度是

正确答案

解析

正方体的各个面根据与球心位置关系分为两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为60度，所以根据弧长公式可以求得

考查方向

正方体的结构特征

解题思路

找到正方体的外接圆的圆心和半径，实际上是求球在正方体各个面上交线的长度计算。

易错点

空间想象能力和计算能力

知识点

棱柱的结构特征定义法求轨迹方程

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下一知识点 : 圆锥曲线的综合问题

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