- 随机事件的关系
- 共394题
广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享，现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：
（1）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；
（2）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数，求ξ的分布列；
（3）从这50位市民中，先随机选一个人，记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P。
正确答案
见解析。
解析
解：（1）记Ex表示这50位市民幸福指数的数学期望，
∴
（2）ξ的可能取值为0、1、2、3
∴ξ分布列为
（3）方法一：设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P1
①满足m=0且n=60的事件数为：
②满足m=0且n=90的事件数为：
③满足m=30且n=90的事件数为：
∴
所以满足条件n＜m+60的事件的概率为
方法二：基本事件的总数为
满足条件n＜m+60的有如下各种情况：
①满足m=0时，n=0，30的事件数为：
②满足m=30时，n=0，30，60的事件数为：
③满足m=60时，n=0，30，60，90的事件数为：
④满足m=90时，n=0，30，60，90的事件数为：
所以
知识点
在一次射击比赛中，某人向目标射击4次，每次击中目标的概率为
（1）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列及数学期望；
（2）若目标被击中2次，A表示事件“红色区域至少被击中1次或蓝色区域被击中2次”，求P（A）。
正确答案
见解析。
解析
（1）由题意知，X的取值为0，1，2，3，4。
P（X=0）=
P（X=2）= 
P（X=4）= 
即X的分布列为
…………5分
EX=4×
（2）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中红色区域”，A2表示事件“第二次击中目标时，击中蓝色区域”，B1表示事件“第二次击中目标时，击中红色区域”，B2表示事件“第二次击中目标时，击中蓝色区域”
依题意可知P（A1）=P（B1）=0.2，P（A2）=P（B2）=0.3.…………8分
A=A1
∴P（A）=P（A1
=0.2×0.8+0.8×0.2+0.2×0.2+0.3×0.3
=0.45. …………12分
知识点
容量为60的样本的频率分布直方图共有n（n＞1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n﹣1个小矩形面积和的
正确答案
10
解析
∵分类分步直方图共有n个小矩形，
其中一个小矩形的面积等于其余（n﹣1）个小矩形面积之和的
设这一个小矩形的面积是x，则其余（n﹣1）个小矩形面积之和为5x，
∵x+5x=1，
∴x=
∵样本容量为60，
则这个小矩形对应的频数是60×
故答案为：10。
知识点
如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进，现在投掷一个质地均匀.每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1.两个2.两个3一共六个数字，质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D），在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止。
（1）求质点P恰好返回到A点的概率；
（2）在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望。
正确答案
见解析。
解析
（1）投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为
只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）.（3，1）.（2，2）三种结果，其概率为
若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：（1，1，2）.（1，2，1）.（2，1，1）三种结果，其概率为
若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1,1,1,1），其概率为
所以，质点P恰好返回到A点的概率为：P＝P2＋P3＋P4＝
（2）由（1）知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2，3，4，
知识点
高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占
A
B
C
D
正确答案
解析
略
知识点
已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣y2≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率是 。
正确答案
解析
∴ 作出Ω对应的平面区域，得到如图的Rt△OBC，其中B（6，0），C（0，6）
又∵A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣y2≥0}，
∴作出A对应的平面区域，得到曲线y=
且在x轴上方的平面区域，
其面积为S1=
∵Rt△OBC的面积为S=
∴向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率P=
故答案为：
知识点
根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试，已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止，设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9。
（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望；
（2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率。
正确答案
见解析。
解析
（1）由题意可知ξ的取值为1，2，3，4，5. P（ξ=1）=0.5，P（ξ=2）=（1﹣0.5）×0.6=0.3，P（ξ=3）=（1﹣0.5）×（1﹣0.6）×0.7=0.14，
P（ξ=4）=（1﹣0.5）×（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×0.8=0.048，P（ξ=5）=（1﹣0.5）×（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×（1﹣0.8）=0.012
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=1×0.5+2×0.3+3×0.14+4×0.048+5×0.012=1.772
（2）李先生在三年内领到驾照的概率为：P=1﹣（1﹣0.5）×（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×（1﹣0.8）×（1﹣0.9）=0.9988
知识点
我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）
正确答案
解析
：设满足题意的“六合数”为
（1）一个为4，两个为0，共有3种；
（2）一个为3，一个为1，一个为0，共有A
（3）两个为2，一个为0，共有3种；
（4）一个为2，两个为1，共有3种。
则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种。
故选B。
知识点
有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
略
知识点
盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 。
正确答案
解析
略
知识点
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