热门试卷

， 或 

本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．

解：求椭圆方程为

依题意知，点P、Q的坐标满足方程组

                           将②式代入①式，整理得(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)="0,   " ③           ——2分

设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为

P(x1，x1＋1)，Q(x2，x2＋1)．                                        ——3分

由题设OP⊥OQ,|PQ|=，可得

整理得

                                       ——6分解这个方程组，得   或 

根据根与系数的关系，由③式得

(Ⅰ)   或  (Ⅱ)                ——10分

解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得   或   

故所求椭圆的方程为， 或               ——12分

证明见解析

本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．

证法一：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P(x0，0)，故|PA|=|PB|，即

(x1－x0)2+=(x2－x0)2+    ①

∵   A、B在椭圆上，∴，．

将上式代入①，得2(x2－x1) x0=    ②

∵   x1≠x2，可得        ③

∵   －a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，∴ －2a<x1+x2<2a，

∴   

证法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因P(x0，0)在AB的垂直平分线上，以点P为圆心，|PA|=r为半径的圆P过A、B两点，圆P的方程为(x－x0)2+y2=r2，

与椭圆方程联立，消去y得(x－x0)2x2=r2－b2，

∴  ①

因A、B是椭圆与圆P的交点，故x1，x2为方程①的两个根．由韦达定理得

x1+x2=x0．

因－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，故－2a<x1+x2=x0<2a，

∴

（Ⅰ）（Ⅱ）椭圆的长轴长的取值范围是

（Ⅰ）证明：消去得

设点，则，

由，，即

化简得，则

即，故

（Ⅱ）由

化简得

由得，即

故椭圆的长轴长的取值范围是。