椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：填空题

填空题

已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，当•=0时，△F1PF2的面积为______．

正确答案

设|PF1|=m，|PF2|=n，

由椭圆的定义可知m+n=4．

因为•=0，

所以m2+n2=（2c）2=4c2=12，

所以nm=2．

因为•=0，

所以△F1PF2的是直角三角形，即S△F1F2P =nm，

所以S△F1F2P=1．

故答案为1．

题型：填空题

填空题

设椭圆C:的中心、右焦点、右顶点依次分别为O，F，G，且直线与x轴相交于点H，则最大时椭圆的离心率为________．

正确答案

根据已知O(0，0)，F(c，0)，G(a，0)，H(，0)，

所以＝，所以当最大时．

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

正确答案

（1）；（2）存在点满足题意.

(1)椭圆E长轴的一个端点为,所以可得,焦点在x轴上，然后再根据,可得,所以,

所以椭圆方程为.

(2)先假设存在点M符合题意，设AB：再与椭圆Ｅ的方程联立消y可得关于x的一元二次方程，再利用韦达定理代入，得到含有变量m,k的表达式，要注意与k无关，让k的系数为零，求出m值．

（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且

故所求方程为即 ………………3分

（2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得：

………………4分

则………………6分

………10分

要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意.…12分

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且满足PA＝PB，求直线的方程．

正确答案

解　(1)由已知2a＝6，＝，解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1。

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点为E.

由得(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0，∵直线与椭圆有两个不同的交点，

∴Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，解得k2>.且x1＋x2＝，x1x2＝.

而y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·－4＝－，∴E点坐标为.

∵PA＝PB，∴PE⊥AB，kPE·kAB＝－1.∴·k＝－1.解得k＝±1，满足k2>，

∴直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.

略

题型：填空题

填空题

已知圆C:(x+1)2+y2=16及点A（1，0），Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M则点M的轨迹方程为 .

正确答案

试题分析：点在的垂直平分线上，则，所以，又，故点的轨迹是椭圆，，，从而椭圆的标准方程为.

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