· 椭圆的定义

椭圆的定义
共1868题

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题型：简答题

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简答题

已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且．

（1）求的周长；

（2）求点的坐标．

正确答案

解：椭圆中，长半轴，焦距

（1）根据椭圆定义，

所以，的周长为

（2）设点坐标为

由得，

又

∴

∵

∴，则

∴点坐标为或或或

略

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分14分)

已知椭圆G与双曲线有相同的焦点，且过点

(1)求椭圆G的方程

(2)设、是椭圆G的左焦点和右焦点，过的直线与椭圆G相交于A、B两点，请问的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由

正确答案

解：(1)双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为…………1分

设椭圆的长轴长为，则，即，

又，所以 ∴椭圆G的方程………………5分

(2)如图,设内切圆M的半径为,与直线的切点为C，则三角形的面积等于的面积+的面积+的面积.

即

当最大时,也最大, 内切圆的面积也最大, ………………7分

设、(),则,

由,得,………………9分

解得,,

∴,令,则,且,

有,令,则,……………11分

当时,,在上单调递增,有,,

即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,……………12分

∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为. ………………13分

略

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题型：简答题

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简答题

正确答案

略

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

如图，已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，且椭圆的离心率，也是抛物线：的焦点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，且，点关于轴的对称点为，求直线的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点是，

则，得，则，

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）显然直线的斜率不存在时不符合题意，可设直线：，设，，由于，

则，联立，，

则，……① ，……②，代入①、②得，

，……③ ，……④ 由③、④得，

，，

（i）若时，，，

即，，，

直线的方程是；

（ii）当时，同理可求直线的方程是．

略

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题型：简答题

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简答题

(本题满分12分)

已知椭圆的左、右焦点为，过点斜率为正数的直线交两点，且成等差数列。

（Ⅰ）求的离心率；

（Ⅱ）若直线y=kx（k<0）与交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值。

正确答案

（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有

|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4a， ①

|AF2|＋|BF2|＝2|AB|， ②

|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2， ③…3分

由①、②、③，解得|AF2|＝a，|AB|＝a，|BF2|＝a，

所以点A为短轴端点，b＝c＝a，Γ的离心率e＝＝．…………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x2＋2y2＝a2．

不妨设C(x1，y1)、D(x2，y2)（x1＜x2），

则C、D坐标满足

由此得x1＝－，x2＝．

设C、D两点到直线AB：x－y＋a＝0的距离分别为d1、d2，

因C、D两点在直线AB的异侧，则

d1＋d2＝＋＝

＝＝＝．………………………8分

∴S＝|AB|( d1＋d2)＝·a·＝·．

设t＝1－k，则t＞1，＝＝，

当＝，即k＝－时，最大，进而S有最大值．……………………12分

略

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