- 椭圆的定义
- 共1868题
如图,矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,E,F,M,N分别是矩形四条边的中点,G,H分别是线段ON,CN的中点.
(1)证明:直线EG与FH的交点L在椭圆W:上;
(2)设直线l:与椭圆W:
有两个不同的交点P,Q,直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T,求
的最大值及取得最大值时m的值.
正确答案
(1)证明见解析;(2)当或
时,
取得最大值
.
试题分析:解题思路:(1)由点写出直线方程,联立直线方程得到交点坐标,,验证点满足椭圆方程;(2)联立直线与椭圆的方程,常用“设而不求”的方法,求弦长,进而求所求比值,常用换元法求最值.规律总结:直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程,整理得关于的一元二次方程,常用“设而不求”的方法进行求解.
试题解析:(1)点,
,
,
,
则直线EG:,直线FH:
,
则直线EG与FH的交点,
因为,故直线EG与FH的交点L在椭圆W:
上.
(2)联立方程组消去y,得
,
设,
,则
,
,
由及
得
.
,
若直线l过A点时,,
①当时,
,
,当
时,
最大值
.
②当时,设
,
,
,
,令
,则
,
当,即
,
时,
取最大值
.
综上所述,当或
时,
取得最大值
.
已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6,
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。.
正确答案
⑴;⑵
.
试题分析:⑴两焦点间距离为,由焦点坐标可得
值,椭圆长轴长为
,由长轴长为
,得
,由椭圆中
,可得
值,可求得椭圆的标准方程;⑵由条件可得直线
的方程为
,设
,将直线方程与椭圆方程联立方程组,可化为
,则可得
,由弦长公式
,可得
.
解:⑴由,长轴长为6 ,
得:所以
,
∴椭圆方程为
⑵设,由⑴可知椭圆方程为
①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得,
∴
又
已知F1、F2为椭圆的左右焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若
,则
= _____________.
正确答案
7
试题分析:由椭圆方程可得
,所以
,根据椭圆的定义知
,
,那么
,又
,所以
.
如图,已知直线的右焦点F,且交椭圆C于A,B两点,点A,F,B在直线
上的射影依次为点D,K,E.
(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;
(2)对于(1)中的椭圆C,若直线L交y轴于点M,且,当m变化时,求
的值;
(3)连接AE,BD,试探索当m变化时,直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予证明;否则说明理由.
正确答案
(1)(2)
(3)AE与BD相交于定点
(1)易知
………………2分
(2)
设
…………………………………………4分
又由
同理
……………………………………6分
(3)
先探索,当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED为矩形,由对称性知,AE与BD相交FK中点N,且
猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点……………………8分
证明:设
当m变化时首先AE过定点N
A、N、E三点共线
同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点……………………12分
已知椭圆的左、右焦点分别为
,若以
为圆心,
为半径作圆
,过椭圆上一点
作此圆的切线,切点为
,且
的最小值不小于为
.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)设椭圆的短半轴长为,圆
与
轴的右交点为
,过点
作斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点,若
,求直线
被圆
截得的弦长
的最大值.
正确答案
(1)(2)
(1)依题意设切线长
∴当且仅当取得最小值时
取得最小值,
而,......2分
,
,
从而解得,故离心率
的取值范围是
;......6分
(2)依题意点的坐标为
,则直线的方程为
, 联立方程组
得,设
,则有
,
,代入直线方程得
,
,又
,
,
......10分
,直线的方程为
,圆心
到直线
的距离
,由图象可知
,
,
,
,所以
.......14分
扫码查看完整答案与解析