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题型:简答题
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简答题

如图,矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,E,F,M,N分别是矩形四条边的中点,G,H分别是线段ON,CN的中点.

(1)证明:直线EG与FH的交点L在椭圆W:上;

(2)设直线l:与椭圆W:有两个不同的交点P,Q,直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T,求的最大值及取得最大值时m的值.

正确答案

(1)证明见解析;(2)当时,取得最大值.

试题分析:解题思路:(1)由点写出直线方程,联立直线方程得到交点坐标,,验证点满足椭圆方程;(2)联立直线与椭圆的方程,常用“设而不求”的方法,求弦长,进而求所求比值,常用换元法求最值.规律总结:直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程,整理得关于的一元二次方程,常用“设而不求”的方法进行求解.

试题解析:(1)点

则直线EG:,直线FH:

则直线EG与FH的交点

因为,故直线EG与FH的交点L在椭圆W:上.

(2)联立方程组消去y,得

,则

若直线l过A点时,

①当时,,当时,最大值

②当时,设

,令,则

,即时,取最大值

综上所述,当时,取得最大值

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题型:简答题
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简答题

已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6,

⑴求椭圆C的标准方程;

⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。.

正确答案

;⑵

试题分析:⑴两焦点间距离为,由焦点坐标可得值,椭圆长轴长为,由长轴长为,得,由椭圆中,可得值,可求得椭圆的标准方程;⑵由条件可得直线的方程为,设,将直线方程与椭圆方程联立方程组,可化为,则可得,由弦长公式,可得

解:⑴由,长轴长为6 ,

得:所以

∴椭圆方程为

⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,

∵直线AB的方程为

把②代入①得化简并整理得,

 

 

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题型:填空题
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填空题

已知F1、F2为椭圆的左右焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若,则= _____________.

正确答案

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试题分析:由椭圆方程可得,所以,根据椭圆的定义知,,那么,又,所以

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题型:简答题
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简答题

如图,已知直线的右焦点F,且交椭圆CAB两点,点AFB在直线上的射影依次为点DKE.

(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;

(2)对于(1)中的椭圆C,若直线Ly轴于点M,且,当m变化时,求的值;

(3)连接AEBD,试探索当m变化时,直线AEBD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予证明;否则说明理由.

正确答案

(1)(2)(3)AEBD相交于定点

(1)易知

………………2分

  (2)

…………………………………………4分

又由

同理

……………………………………6分

(3)

先探索,当m=0时,直线Lox轴,则ABED为矩形,由对称性知,AEBD相交FK中点N,且

猜想:当m变化时,AEBD相交于定点……………………8分

证明:设

m变化时首先AE过定点N

ANE三点共线

同理可得BND三点共线

AEBD相交于定点……………………12分

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题型:简答题
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简答题

已知椭圆的左、右焦点分别为,若以为圆心,为半径作圆,过椭圆上一点作此圆的切线,切点为,且的最小值不小于为

(1)求椭圆的离心率的取值范围;

(2)设椭圆的短半轴长为,圆轴的右交点为,过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点,若,求直线被圆截得的弦长的最大值.

正确答案

(1)(2)

(1)依题意设切线长

∴当且仅当取得最小值时取得最小值,

,......2分

从而解得,故离心率的取值范围是;......6分

(2)依题意点的坐标为,则直线的方程为, 联立方程组  

,设,则有,代入直线方程得

,又

......10分

,直线的方程为,圆心到直线的距离,由图象可知

,所以.......14分

下一知识点 : 椭圆的标准方程及图象
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