椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：填空题

填空题

已知F1、F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，O是坐标原点，OP∥AB，PF1⊥x轴，F1A＝＋，则此椭圆的方程是________________．

正确答案

＝1

由于直线AB的斜率为－，故直线OP的斜率为－，直线OP的方程为y＝－x.与椭圆方程联立得＝1，解得x＝±a.根据PF1⊥x轴，取x＝－a，从而－a＝－c，即a＝c.又F1A＝a＋c＝＋，故c＋c＝＋，解得c＝，从而a＝.所以所求的椭圆方程为＝1

题型：填空题

填空题

．已知椭圆短轴端点为A，B．点P是椭圆上除A，B外任意一点，则直线PA，PB的斜率之积为．

正确答案

略

题型：填空题

填空题

已知椭圆C:+y2=1的两焦点为,点满足,则||+ç|的取值范围为____ ___.

正确答案

试题分析：从已知条件看，本题先确定点与椭圆的位置关系，与椭圆的位置关系是：在椭圆内，在椭圆上，在椭圆外.因此本题中，在椭圆内，，又，所以所求取值范围是.

题型：简答题

简答题

已知椭圆的离心率为，且经过点．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合），

①求的值；

②当为等腰直角三角形时，求直线的方程．

正确答案

(Ⅰ)椭圆的方程为；(Ⅱ) ①；②直线的方程为或或．

试题分析：(Ⅰ)由与离心率为，可求出方程；(Ⅱ) ①要求的值，可设直线的方程，采用设而不求的方法求得；②由①知：，如果为等腰直角三角形，设的中点为，则，利用可求出的值，从而求出直线的方程为．

试题解析：(Ⅰ)因为椭圆经过点，，因为，解得，

所以椭圆的方程为．

(Ⅱ)①若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合，不满足题目条件．

所以直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，把代入椭圆方程得，设，则，，，

因为，所以

，

②由①知：，如果为等腰直角三角形，设的中点为，则，且，

若，则，显然满足，此时直线的方程为；

若，则，解得，所以直线的方程为，即或．

综上所述：直线的方程为或或．

题型：简答题

简答题

已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.

（1）求椭圆C的方程;

（2）如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l, F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值.

正确答案

（1）

（2）

试题分析：(1)依题意,设椭圆的方程为.

构成等差数列,

, .

又,.

椭圆的方程为

(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中,

得

由直线与椭圆仅有一个公共点知,,

化简得:

设,,

(法一)当时,设直线的倾斜角为,

则,

, ,

,当时,,,.

当时,四边形是矩形,

所以四边形面积的最大值为

(法二),

四边形的面积,

当且仅当时,,故.

所以四边形的面积的最大值为

点评：主要是考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。

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