椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：简答题

简答题

椭圆＝1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标x0的取值范围．

正确答案

由题意F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，则1＝(－－x0，－y0)，2＝(－x0，－y0)，∴1·2＝－5＋<0.①

又＝1，②　由①②得<，

∴－0<.则点P的横坐标x0的取值范围为.

题型：简答题

简答题

已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为.

（I）求椭圆的方程。

（II）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。

正确答案

解：(I)由题意可知：a+c= +1 ，×2c×b=1,有∵a2=b2+c2

∴a2="2," b2="1," c2=1

∴所求椭圆的方程为： …………….4分

（II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(,0)

联立

则

略

题型：填空题

填空题

若斜率为的直线l与椭圆＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．

正确答案

由题意易知两交点的横坐标为－c、c，纵坐标分别为－、，所以由＝得2b2＝ac＝2(a2－c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝或e＝－(负根舍去)．

题型：简答题

简答题

如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限．过作轴的垂线，垂足为．连接，并延长交椭圆于点．设直线的斜率为．

（Ⅰ）当直线平分线段时，求的值；

（Ⅱ）当时，求点到直线的距离；

（Ⅲ）对任意，求证：．

正确答案

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）求出点、的中点坐标，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直线的方程，再用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离；

（Ⅲ）思路一:圆锥曲线题型的一个基本处理方法是设而不求,其核心是利用 ----(*).要证明,只需证明它们的斜率之积为-1. 但直接求它们的积,不好用(*)式,此时需要考虑转化.

思路二:设,然后用表示出的坐标.这种方法要注意直线的方程应设为: ,若用点斜式,则运算量大为增加.

此类题极易在运算上出错,需倍加小心.

试题解析：（Ⅰ）由题设知: ,所以线段的中点为,

由于直线平分线段,故直线过线段的中点,又直线过坐标原点,

所以

（Ⅱ）将直线的方程代入椭圆方程得: ,因此

于是,由此得直线的方程为:

所以点到直线即的距离

（Ⅲ）法一:设,则

由题意得:

设直线的斜率分别为,因为在直线上,所以

从而,所以:

法二:

所以直线的方程为: 代入椭圆方程得:

由韦达定理得:

所以

,所以

题型：简答题

简答题

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且

故所求方程为即 ……………3分

（2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得：

………………4分

则 …………6分

…10分

要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意。

略

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