椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：简答题

简答题

(本小题满分16分) 如图，设椭圆的右顶点与上顶点分别

为A、B，以A为圆心，OA为半径的圆与以B为圆心，OB为半径的圆相交于点O、P．

（1）求点P的坐标；

(2) 若点P在直线上，求椭圆的离心率；

(3) 在（2）的条件下，设M是椭圆上的一动点，且点N（0，1）到椭圆上点的最近距离为3，求椭圆的方程．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

本小题满分12分）

已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：

有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

（Ⅱ）Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

正确答案

(1), m＝1

(2) [－12，0]

．解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1． 2分

圆C：．设直线PF1的斜率为k，

则PF1：，即．∵直线PF1与圆C相切，

∴．

解得． ……………… 4分

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． …………………… 5分

2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．

椭圆E的方程为：． …………………… 7分

(法二)直接设直线的方程为：去求c . 2

（Ⅱ），设Q（x，y），，

． …………………… 9分

（法一）设,则是直线在轴上的截距，所以当

，取得最大值与最小值，把直线方程代入椭圆方程得：由，

得，的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]． ……… 12分

(法二)∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．

则的取值范围是[0，36]．

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]． …………………… 12分

题型：简答题

简答题

(本小题满分14分)

已知椭圆的两个焦点，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于M，N两点，如果的周长等于8．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与椭圆交于不同两点P、Q，试问在轴上是否存在定点E（，0），使恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

正确答案

(1) ="1"

(2) 时，为定值

解：（I）由题意知 = ，，（2分）∴ ， =1

∴椭圆的方程为="1" （4分）

（II）当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为

消去得（6分）

设

则由韦达定理得（7分）

则

∴=

= （10分）

要使上式为定值须，解得

∴为定值（12分）当直线的斜率不存在时由

可得

∴=综上所述当时，为定值（14分）

题型：填空题

填空题

已知椭圆的中心在原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两焦点的距离之和为，则椭圆的方程为 .

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（（本小题满分12分）

已知点A（1，1）是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4。

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点A（1，1）与椭圆相切的直线方程；

（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。

正确答案

略

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