椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点满足

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若已知点，设直线与椭圆C相交于A，B两点，且，

求椭圆C的方程。

正确答案

（Ⅰ）解：设，

因为，即故……4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，

直线PF2的方程为……6分

A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得。

解得，得方程组的解

不妨设，，……8分

所以……10分

于是 ……11分

所以椭圆方程为 ……12分

略

题型：简答题

简答题

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：

由题意：

所求椭圆方程为：． ……………………5分

（Ⅱ）若过点的斜率不存在，则．

若过点的直线斜率为，即：时，

直线的方程为

由

因为和椭圆交于不同两点

所以，

所以 ①

设

由已知，则 ②

③

将③代入②得：

整理得：

所以代入①式得

，解得．

所以或．

综上可得，实数的取值范围为：．

……………………14分

略

题型：简答题

简答题

已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与x轴相交于定点；

（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围.

正确答案

21. 解：（1）由题意知

故椭圆C的方程为 ………………4分

（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为

由 …………①

将代入整理得，

得 ………………②

由①得代入②整得，得

所以直线AE与x轴相交于定点Q（1， 0） …………8分

（3）当过点Q的直线MN的斜率存在时，

设直线MN的方程为在椭圆C上。

所以 ………………13分

略

题型：简答题

简答题

已知是椭圆C：与圆F：的一个交点，且圆心F是椭圆的一个焦点，（1）求椭圆C的方程；（2）过F的直线交圆与P、Q两点，连AP、AQ分别交椭圆与M、N点，试问直线MN是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

正确答案

解：（1），或（舍），从而得椭圆C的方程是

（2）设直线MN的方程为，代入，化简整理得

由条件得

即，，解得（舍）或，所以直线MN的方程为，直线过定点

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为. 其中也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与交于不同的两点.在之间，试求与面积之比的取值范围.（O为坐标原点）

正确答案

解：（Ⅰ）依题意知，设.由抛物线定义得，即.

将代人抛物线方程得(2分)，进而由及

解得.故的方程为 (4分)

（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在且不为0，设的方程为代人，

整理得 (6分)

由，解得.设,则（1） (8分)

令且.将代人（1）得

消去得(10分)即，

即

解得.故与面积之比的取值范围为 (12分)

略

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