椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

设椭圆E：的上焦点是，过点P（3，4）和作直线P交椭圆于A、B两点，已知A().

(1)求椭圆E的方程；

(2)设点C是椭圆E上到直线P距离最远的点，求C点的坐标。

正确答案

19 （1）由A（）和P（3，4）可求直线的方程为：y=x+1…………………………1分

令x=0，得y=1,即c="1 " …………………………2分

椭圆E的焦点为、，由椭圆的定义可知

…………………………4分

∴ …………………………5分

椭圆E的方程为 …………………………6分

（2）设与直线平行的直线: …………………………7分

，消去y得 ………………………… 8分

，即 …………………………9分

要使点C到直线的距离最远，则直线L要在直线的下方，所以 ……………10分

此时直线与椭圆E的切点坐标为，故C（为所求。 ……………12分

略

题型：简答题

简答题

已知的顶点A、B在椭圆,点在直线上，且

（1）当AB边通过坐标原点O时，求的面积；

（2）当，且斜边AC的长最大时，

求AB所在直线的方程。

正确答案

（1）因为且AB通过原点（0，0），所以AB所在直线的方程为

由得A、B两点坐标分别是A（1，1），B（-1，-1）。

2分

又的距离。

4分

（2）设AB所在直线的方程为

由

因为A，B两点在椭圆上，所以

即 5分

设A，B两点坐标分别为，则

且 6分

8分

又的距离，即 10分

边最长。（显然）

所以AB所在直线的方程为

略

题型：填空题

填空题

已知地球运行的轨道是椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，这个椭圆的长半轴长约为km，半焦距约为km，则地球到太阳的最大距离是 km。

正确答案

椭圆的长半轴长,半焦距,当地球运行到距离太阳最远的椭圆长轴的另一顶点时，距离最大，最大距离是：

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.

（1）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；

（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

正确答案

解：

（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，设纯收入与年数n的关系为f(n),则f(n)=21n-[2n+]-25=20n-n2-25……………………3分

由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得

又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利……………………6分

（2）年平均收入为=20-………………………………9分

当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大…12分

略

题型：简答题

简答题

已知椭圆的离心率是，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.

（1）求椭圆的方程;

(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.

正确答案

（1）椭圆的方程为

（2）当时,,即存在这样的直线；

当时,不存在,即不存在这样的直线。

(1)由题意可知又，

解得， ------------------------2分

椭圆的方程为；-------------------------------------------------4分

（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为

，代入，得，

设，则 ①，-8分

，

而的方向向量为,

------------------------------10分

当时,,即存在这样的直线;----------------------11分

当时,不存在,即不存在这样的直线 .-----------------------------------12分

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