椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：简答题

简答题

（本小题满分10分）如图，椭圆C:的焦距为2，离心率为。

（1）求椭圆C的方程

（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于P点且与椭圆相交于A、B两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

正确答案

（1）

（2）不存在直线使成立

(1)由2c=2知c=1

（2）设

假设使成立的直线存在

1）当垂直于x轴时由

知

不存在直线使成立

2）当不垂直于x轴时，设

则由知

由

由知

将代入上式并化简的，此方程无解

故此时直线不存在

综上所诉，不存在直线使成立

题型：简答题

简答题

(本小题满分12分)

已知椭圆：的离心率为，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点.证明：圆的半径为定值.

正确答案

解：(Ⅰ) ……………2分

…………………………5分

(Ⅱ)证明：设

，

此时0到AB的距离为 ……………………………………9分

同理可求得

综上所述，圆D的半径为定值 ………………………………12分

略

题型：简答题

简答题

已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．

(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（.（本小题满分12分）

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为和，且与共线.

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由已知得，∴，∵与共线，∴，又（3分）

∴， ∴椭圆E的标准方程为（5分）

（Ⅱ）设,把直线方程代入椭圆方程，

消去y，得，,

∴, （7分）

(*) （8分）

∵原点O总在以PQ为直径的圆内，∴，即（9分）

又

由得，依题意且满足(*) （11分）

故实数m的取值范围是（12分）

略

题型：简答题

简答题

（本题满分14分）已知直角坐标平面内点到点与点的距离之和为

（Ⅰ）试求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若斜率为的直线与轨迹交于、两点，点为轨迹上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？请证明你的结论．

正确答案

,是

解：（Ⅰ）由题知，则………2分

由椭圆的定义知点轨迹是椭圆…………3分

其中．因为　，…5分

所以，轨迹的方程为 …6分

（Ⅱ）设直线的方程为：，

联立直线的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：

化简得：………（3） ……………8分

当时，即，也即，时，直线与椭圆有两交点，

由韦达定理得：， ………………10分

所以，，

则

……………13分

所以，为定值。 ……………14分

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