热门试卷

（1）（2）+=1

试题分析：（1）直接利用|PF2|=|F1F2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；

（2）先把直线PF2与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．

解：（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0）   （c＞0）．

由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，

所以e=．

（2）由（1）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2为y=（x﹣c）．

A，B的坐标满足方程组，

消y并整理得5x2﹣8xc=0，

解得x=0，x=，得方程组的解为，，

不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．

所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．

圆心（﹣1，）到直线PF2的距离d=，

因为d2+=42，所以（2+c）2+c2=16，整理得c=﹣（舍）或c=2．

所以椭圆方程为+=1．

点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．

(1)y2＝4x（2）①②存在直线m：x＝3满足题意

(1)由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由a2－b2＝4－3＝1，得c＝1，∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2.∴抛物线D的方程为y2＝4x.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

①直线l的方程为y＝x－4，联立整理得x2－12x＋16＝0，即M(6－2，2－2)，N(6＋2，2＋2)，∴MN＝.

②设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E，过E作直线x＝a的垂线，垂足为E′，设直线m与圆E的一个交点为G.可得|E′G|2＝|EG|2－|EE′|2，即|E′G|2＝|EA|2－|EE′|2＝＝＋＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.当a＝3时，|E′G|2＝3，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2，因此存在直线m：x＝3满足题意

(1) +y2=1   (2) k≤-或k≥.

(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),

则+=9,=(x-x0,y),=(-x,y0-y).

由2=,得解得

代入+=9,

化简得点M的轨迹方程为+y2=1.

(2)由题意知k≠0,

假设存在弦CD被直线l垂直平分,设直线CD的方程为y=-x+b,

由消去y化简得

(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,

Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)

=-16k2(k2b2-k2-4)>0,

k2b2-k2-4<0,

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD中点P(xp,yp),

则x1+x2=,

xp==,

yp=-xp+b=-·+b=,

又yp=k(-1),

∴k(-1)=,得b=,

代入k2b2-k2-4<0,得-(k2+4)<0,

解得k2<5,∴-.

∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时,k的取值范围是k≤-或k≥.

20、解：

将(1)代入(2)可得：

(3+4k2)x2+8k2x+(4k2-12)="0     " 2’

3×64k4+4×36k2=12(4k2+3)2

64k4+48k2=4(16k4+24k2+9)

48k2=96k2+36         2’

-48k2=36

∴k无解

∴不存在

略