热门试卷

（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，以，为焦点的椭圆C过点，故可用待定系数法求椭圆方程，设椭圆的标准方程为，由条件求出即可；（Ⅱ）设点，过点F2作直线与椭圆C交于A,B两点，且，若的取值范围，这是直线与圆锥曲线交点问题，可采用设而不求的解题思想，设出直线的方程（注意需讨论斜率不存在情况），与Ａ，Ｂ两点坐标，利用根与系数关系来解，当直线斜率不存在时，直接求解A，B的坐标得到的值，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后，利用，消掉点的坐标得到λ与k的关系，根据λ的范围求k的范围，然后把转化为含有k的函数式，最后利用基本不等式求出的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，

则  ③

   ④         

将④代入③，解得或（舍去）  

所以       

故椭圆的标准方程为                              4分

（Ⅱ）方法一：

容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为

将直线的方程代入中得：.       6分

设，则由根与系数的关系，

可得：     ⑤

       ⑥             7分

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以                           10分

因为，所以，

又，所以，

故

，

令，因为

所以，即，

所以.

而，所以.

所以.                    13分

方法二：

1）当直线的斜率不存在时，即时，，，

又，所以          6分

2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为

由得

设，显然，则由根与系数的关系，

可得：，                 7分

         ⑤

   ⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得                 10分

因为，

所以，

又，

故

       11分

令，因为

所以，即，

所以.

所以                                12分

综上所述：.                          13分

，，

解（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得

解得，故椭圆C的方程为．……………………4分

（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为

由                                         得．①

因为直线与椭圆相切，所以

整理，得                                 解得

所以直线l方程为

将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为……8分

（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得

因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为

所以

所以．

又，

因为即，

所以．

即

所以，解得 因为A，B为不同的两点，所以．

于是存在直线1满足条件，其方程为………………………………12分

（1）+=1  （2），证明见解析

解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),

又椭圆以抛物线焦点为顶点,

∴a=2,

又e==,

∴c=1,∴b2=3.

∴椭圆E的方程为+=1.

(2)由(1)知,F(-1,0),

由

消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵l与椭圆交于两点,

∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

即m2<4k2+3.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1、x2是上述方程的两个根,

∴x1+x2=-,x1·x2=,

又y1+y2=kx1+m+kx2+m

=k(x1+x2)+2m

=

∴=+=（-,）,

由点P在椭圆上,得+=1.

整理得4m2=3+4k2,

又Q(-4,-4k+m),

∴=(-3,-4k+m).

∴·=（-,）·(-3,m-4k)

=+

=

=.

即·为定值.