椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：简答题

简答题

已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；

正确答案

（1）故。（2）θ。

（1）∵，∴。

∵是共线向量，∴，∴b=c,故。

（2）设

当且仅当时，cosθ=0，∴θ。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。

正确答案

（1）a＝5，b＝3（2）

（1）设c为椭圆的焦半径，则

。

于是有a＝5，b＝3。

（2）解法一：设B点坐标为，P点坐标为。于是有

因为，所以有

。 (A1 )

又因为ABP为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即

。 (A2 )

由（A1）推出，代入（A2），得

从而有，即（不合题意，舍去）或。

代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程

解法二：设,，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为

。

设AB与x轴正方向夹角为，B点的参数表示为

，

P点的参数表示为

从上面两式，得到

。

又由于B点在椭圆上，可得

。

此即为P点的轨迹方程。

题型：填空题

填空题

若方程ax2+by2=c的系数a、b、c可以从-1，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是______．（结果用数值表示）

正确答案

∵方程+=1表示椭圆，

∴＞＞0，b＞a＞0，

a、b、c 从 1，2，3，4 中任意选取3个，

所有的选法A63=6×5×4=120，

满足条件的选法C41•C32=12，

方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是=0.1；

故答案为0.1．

题型：简答题

简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；

(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB..

正确答案

（1）（2）（3）见解析

(1)解：由题设知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点．又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.

(2)解：将直线PA的方程y＝2x代入椭圆方程＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝

(3)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)，设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k1、k2.因为C在直线AB上，所以k2＝.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·＋1＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB

题型：简答题

简答题

已知点，的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上的动点，直线，分别交直线于点，线段的中点为，求直线与直线的斜率之积的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记直线与的交点为，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由.

正确答案

（1）()；（2）；（3）点在曲线上.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、点斜式求直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，设出P点坐标，利用斜率公式，求出直线AP、BP的斜率，计算得到曲线C的方程；第二问，设出Q点坐标，利用点斜式写出直线AQ的方程，它与x=4交于M，则联立得到M点坐标，同理得到N点坐标，利用中点坐标公式得到后，将Q点横坐标的范围代入直接得到所求范围；第三问，结合第二问得到直线AN和直线BM的方程，令2个方程联立，得到T点坐标，通过计算知T点坐标符合曲线C的方程，所以点T在曲线C上.

(1)设动点，则(且)

所以曲线的方程为(). 4分

（2）法一：设，则直线的方程为，令，则得，直线的方程为，

令，则得， 6分

∵ =

∴，∴ 8分

故

∵ ，∴，

∴，

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分

法二：设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，

所以直线的方程为，令，则得，

直线的方程为，令，则得，

∴，

∴ 8分

故

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分

（3）法一：由（2）得，，

则直线的方程为，直线的方程为， 12分

由，解得即 12分

∴

∴ 点在曲线上. 14分

法二：由（2）得，

∴ ， 12分

∴

∴ 点在曲线上. 14分

法三：由（2）得，，，

∴ ， 12分

∴ 　∴ 点在曲线上. 14分

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