- 椭圆的定义
- 共1868题
给出下列命题：
①若f'（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处有极值；
②m＞0是方程
③若f（x）=（x2-8）ex，则f（x）的单调递减区间为（-4，2）；
④A（1，1）是椭圆
其中为真命题的序号是______．
正确答案
若f'（x0）=0，函数f（x）在x=x0处可能取极值，但如果在x0两边单调性一致，则函数f（x）在x=x0处不取极值，故①错误；
m＞0且m≠0，是方程
若f（x）=（x2-8）ex，则f′（x）=（x2+2x-8）ex，当x∈（-4，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（-4，2），故③正确；
A（1，1）是椭圆
故答案为：③④
以下四个命题：
①已知A、B为两个定点，若|PA|+|PB|=k（k为常数），则动点P的轨迹为椭圆．
②双曲线
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若
其中真命题的序号为______．
正确答案
①根据椭圆的定义，当K≤|AB|时，动点P的轨迹不是椭圆，∴①错误；
②双曲线与椭圆的焦点坐标都是（±
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别2和
④根据向量加法的平行四边形法则P为AB的中点，在单位圆x2+y2=1，设P（x，y），A（-1，0），B（x1，y1）
x1=2x+1，y1=2y代入圆的方程得（2x+1）2+（2y）2=1，轨迹是圆，∴④错误．
故答案是②③
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”．
②在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足||MF1|-|MF2||=4，则点M的轨迹是双曲线．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．
④“若-3＜m＜5则方程
⑤在四面体OABC中，
⑥椭圆
其中真命题的序号是：______．
正确答案
对于①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”，正确；
对于②，动点M满足||MF1|-|MF2||=4＜6=|F1F2|，符合双曲线的定义，故②正确；
对于③，在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，正确；
对于④，“若-3＜m＜5则方程
对于⑤，由于D为BC的中点，
对于⑥，由椭圆的方程与定义可知，2a=10，P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为2a-5=10-5=5，正确．
故真命题的序号是①②③⑤⑥．
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆
正确答案
利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8
由正弦定理得
故答案为
设椭圆C：
（1）求实数λ的取值范围；
（2）若直线l：x-y+2=0与椭圆C存在一公共点M，使得|MF1|+|MF2|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程．
（3）在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为k（k≠0）的直线，与椭圆交于不同的两点A、B，满足
正确答案
解（1）由椭圆定义可得：|PF1|+|PF2|=2
PF
1•
而|PF1|2+|PF2|2≥
（2）由x-y+2=0，
△=16（λ+1）2-12（λ+2）（λ+1）=4（λ+1）（λ-2）≥0•
解得λ≥2或λ≤-1（舍去）∴λ≥2此时|MF1|+|MF2|=2
当仅当λ=2时，|MF1|+|MF2|取得最小值2
（3）由
∴
且在椭圆内的部分．又由
所以直线NQ的斜率为-
联立①、②可求得点Q的坐标为(-
∵点Q必在椭圆内，
又∵k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）（12分）
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