热门试卷

（1）∵定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y），

M到点A的距离与M到直线l的距离之比为，

∴根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，

其中c=1，e==，

∴a=

∴b==2

∴则C1轨迹方程为：+=1．

（2）∵C1轨迹方程为：+=1，

∴C1的焦点为：（1，0），（-1，0），C1的顶点为：（，0），（-，0）

由题意可知：C2为双曲线

则a′=1，c'=，

则b′==2，

∴C2轨迹方程为：x2-=1．

（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=，

它与C2：x2-=1交于P（，-4）和Q（，4），得到得弦|PQ|=8．

当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x-），

联立方程组  ，消去y，

整理得(4-k2)x2+2k2x-5k2-4=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

∵弦|PQ|长度为8，∴=8，

解得k=±，

∴直线m的方程为x=或y=±（x-）．

(1).  (2) 的斜率为定值.

试题分析：(1)设椭圆的方程为，

由. ,即可得.

(2) 当时，、的斜率之和为0.

设直线的斜率为, 则的斜率为,的直线方程为, 的直线方程为,分别与椭圆方程联立，应用韦达定理，确定坐标关系，通过计算

 ,

得到结论.

试题解析：(1)设椭圆的方程为

则. 由,得，

∴椭圆C的方程为.                      5分

(2) 当时，、的斜率之和为0,设直线的斜率为, 

则的斜率为,的直线方程为, 

由 整理得

,          9分

  ,

同理的直线方程为,

可得 

∴ ,              12分

 ,

所以的斜率为定值.                     13分

（I）由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）

∴由定义得P点轨迹是椭圆，

且b2=a2-c2=3．

因此，曲线E的方程为+=1.（5分）

（II）由条件知直线CM，CN的斜率存在且不为0，

设直线CM的方程为y=k(x+1)+，

由消去y，

整理得（4k2+3）x2+4k（2k+3）x+4k2+12k-3=0

∵C在椭圆上，

∴方程两根为-1，x1∴-x1=，x1=-.（9分）

∵直线PM，PN的倾斜角互补，

∴直线PM，PN的斜率互为相反数，

∴x2=-.（11分）

则x1-x2=，x1+x2=.

又y1=k(x1+1)+，y2=-k(x2+1)+，

∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(+2)=.

∴直线MN的斜率KMN==-（定值）（13分）