热门试卷

（1），（2）相切，（3）.

试题分析：（1）求椭圆E的离心率，只需列出关于的一个等量关系就可解出. 因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，即，（2）判断直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线距离与半径大小比较. 因为直线的倾斜角的正弦值为，所以直线的斜率为于是的方程为：，因此中点到直线距离为所以直线与圆相切,又圆与以线段为直径的圆关于直线对称，直线与圆相切．（3）由圆的面积为知圆半径为1，所以设关于直线：的对称点为，则解得．所以，圆的方程为．

【解】（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），

因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，

于是，即，所以椭圆E的离心率  

（2）由可设，，则，

于是的方程为：，

故的中点到的距离，         又以为直径的圆的半径，即有，

所以直线与圆相切．

（3）由圆的面积为知圆半径为1，从而，         

设的中点关于直线：的对称点为，

则

解得．所以，圆的方程为．

（1）＝1.（2）m＝（3）无关

(1)∵c＝4m，椭圆离心率e＝＝，∴a＝5m.∴b＝3m.

∴椭圆C的标准方程为＝1.

(2)在椭圆方程＝1中，令x＝4m，解得y＝±.

∵当θ＝90°时，直线MN⊥x轴，此时FM＝FN＝，∴＝.

∵＝，∴＝，解得m＝.

(3)的值与θ的大小无关．

证明如下：(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d1、d2.

∵＝，＝，∴＝.

又由图可知，MFcosθ＋d1＝－c＝，

∴d1＝，即＝.

同理，＝＝(－cosθ＋1)．

∴＝＋(－cosθ＋1)＝.

∴＝·＝.显然该值与θ的大小无关．

(证法2)当直线MN的斜率不存在时，由(2)知，的值与θ的大小无关．

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－4m)，

代入椭圆方程＝1，得(25k2＋9)m2x2－200m3k2x＋25m4(16k2－9)＝0.

设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，∵Δ＞0恒成立，∴x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵＝，＝，∴MF＝5m－x1，NF＝5m－x2.

∴＝.

显然该值与θ的大小无关．

（1）4（2）存在Q(3,0)

(1)由椭圆的定义知a＝，设P(x，y)，

则有，则＝－，

又点P在椭圆上，则＝－，

∴b2＝2，

∴椭圆C的方程是＝1.(3分)

∵＝，

∴|cos∠AOB＝，

∴|sin∠AOB＝4，

∴S△AOB＝|sin∠AOB＝2，

又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)

(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l斜率存在且不为零，

直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

由消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，

∴kQA＋kQB＝0，即＝0，(13分)

又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，

∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，

∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)

（1）（2）见解析

试题分析：（1）由椭圆的几何意义知，，，由等比数列知，，即，两边同除以化为关于离心率的方程，求出离心率；（2）设出P点坐标，利用直线两点式方程写出直线PA，PB方程，通过解PA与及PB与方程分别组成的方程组，解出点M，N的坐标，再通过计算向量法=0，证明，证明为直径的圆过点.

试题解析：（1）由题意可知，成等比数列，所以

（2）由，椭圆经过点可知，椭圆方程为

设，由题意可知

解得，则

故以线段为直径的圆过点.