- 空间几何体的三视图
- 共3164题
已知三棱锥P-ABC的三视图如如图所示，
（Ⅰ）求证：△PBC是直角三角形；
（Π）求三棱锥P-ABC是全面积；
（Ⅲ）当点E在线段PC上何处时，AE与平面PAB所成的角为60°
正确答案
（Ⅰ）由俯视图可得：
面PAC⊥ABC，面PAB⊥面ABC
又面PAC∩面PAB=PA
故PA⊥面ABC
∵BC⊂面ABC，∴BC⊥PA
有俯视图知BC⊥AB，∴BC⊥面PAB∵BP⊂面PAB，∴BC⊥PB
故△PBC是以B为直角顶点的直角三角形．
（Ⅱ）三角形PAC的面积为
∵俯视如图是底边长为
∴三角形PAB的面积为
由（Ⅰ）知三角形PBC是直角三角形，
故其面积为
故三棱锥P-ABC的全面积为
（Ⅲ）在面ABC内过A做AC的垂线AQ，
以A为原点，AC、AQ、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如如图所示则
设
则
取
∵
∴
=
故当E为PC的中点时，AE与面PAB所成的为60°
解法二：
（Ⅰ）由正视图和俯视图可判断PA⊥AC，且PA⊥AB∴PA⊥面ABC
在面ABC内过A做AC的垂线AQ
以A为原点，AC、AQ、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如如图所示
则P
∴BC⊥PB
故△PBC是以B为直角顶点的直角三角形．
（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）设
则
∵
∴
=
故当E为PC的中点时，AE与面PAB所成的为60°．
解析
（Ⅰ）由俯视图可得：
面PAC⊥ABC，面PAB⊥面ABC
又面PAC∩面PAB=PA
故PA⊥面ABC
∵BC⊂面ABC，∴BC⊥PA
有俯视图知BC⊥AB，∴BC⊥面PAB∵BP⊂面PAB，∴BC⊥PB
故△PBC是以B为直角顶点的直角三角形．
（Ⅱ）三角形PAC的面积为
∵俯视如图是底边长为
∴三角形PAB的面积为
由（Ⅰ）知三角形PBC是直角三角形，
故其面积为
故三棱锥P-ABC的全面积为
（Ⅲ）在面ABC内过A做AC的垂线AQ，
以A为原点，AC、AQ、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如如图所示则
设
则
取
∵
∴
=
故当E为PC的中点时，AE与面PAB所成的为60°
解法二：
（Ⅰ）由正视图和俯视图可判断PA⊥AC，且PA⊥AB∴PA⊥面ABC
在面ABC内过A做AC的垂线AQ
以A为原点，AC、AQ、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如如图所示
则P
∴BC⊥PB
故△PBC是以B为直角顶点的直角三角形．
（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）设
则
∵
∴
=
故当E为PC的中点时，AE与面PAB所成的为60°．
A3π+4+
B3π+6+
C2π+4+
D2π+6
正确答案
解析
该几何体是四棱锥与半圆柱的组合体，
且四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面有两个全等的等腰直角三角形，
一个边长为2的等边三角形，一个为底面边长是2的等腰三角形，
半圆柱的底面直径为2，高为2，如图所示；
则该几何体的表面积为
S=（2×
=3π+4+
故选：A．
已知某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积与体积．
正确答案
解：该几何体是由上下两部分组成的：上面是半径为1的球，下面是一个圆锥，底面半径为2，高为2．
∴该几何体的表面积S=4π×12+
体积V=
解析
解：该几何体是由上下两部分组成的：上面是半径为1的球，下面是一个圆锥，底面半径为2，高为2．
∴该几何体的表面积S=4π×12+
体积V=
A4
B
C
D
正确答案
解析
解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，
结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为
面积为：
故选B．
如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆a千克，则共需油漆的总量为______千克．
正确答案
（24π+39）a
解析
解：建筑物是由一个底面半径为3、母线长为5的圆锥和
一个底面边长为3、高为4的长方体组成．
油漆粉刷部位有三部分组成：
一是圆锥的侧面（面积记为S1）；
二是长方体的侧面（面积记为S2）；
三是圆锥的底面除去一个边长为3的正方形（面积记为S3）．
则S1=π×3×5=15π（m2），S2=4×3×4=48（m2），S3=π×32-3×3=9π-9（m2）
记油漆粉刷面积为S，则S=S1+S2+S3=24π+39（m2）．
记油漆重量为ykg，则y=（24π+39）a．
答：需要油漆约（24π+39）a千克．
故答案为：（24π+39）a．
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