- 简单复合函数的导数
- 共526题
如题(22)图所示的两个同心圆盘均被刀等分(n∈N*,n2),在相重叠的扇形格中依次同时填上1,2,3,…,n,内圆盘可绕圆心旋转,每次可旋转一个扇形格,格中两数之积的和为此位置的“旋转和”。
(1)求,2个不同位置的“旋转和”的和;
当内圆盘旋转到某一位置时,定义所有重叠扇形
(2)当,z为偶数时,求聍个不同位置的“旋转和”的最小值;
(3)设刀=4m(m∈N*),,在如图所示的初始位置将任意而
对重叠的扇形格中的两数均改写为0,证明:当m≤4时,
通过旋转,总存在一个位置,任意重叠的扇形格中两数不同时为0。
正确答案
见解析
解析
(1)由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积,故个不同位置的“旋转和”的和为
;
(2)设内盘中的和外盘中的
同扇形格时的“旋转和”为
则
所以当时,
,当
时,
,所以
时,
最小,
最小值
;
(3)证明:将图中所有非数改写为
,现假设任意位置,总存在一个重叠的扇形格中两数同时为
,则此位置的“旋转和”必大于或等于
,初始位置外的
个位置的“旋转和”的和为
,则有
,即
,这与
矛盾,故命题得证。
知识点
一次测验中,某道多项选择题有4个选项,恰好选中全部正确选项得6分,恰好选中部分正确选项得2分选中错误选项或不选得0分,现已知此题有两个正确选项,一考生选择每个选项的概率都为。
(1)求此考生的答案中至少包含一个正确选项的概率;
(2)求此考生此题得分的数学期望。
正确答案
见解析。
解析
(1)
(2)
知识点
设点P是圆上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为Po,且
。
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线:
与(1)中的轨迹C交于不同的两点A,B。
(i)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;
(ii)若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标。
正确答案
见解析
解析
(1)设点,
,则由题意知
.
由,
,且
,
得.所以
于是
又,所以
.所以,点M的轨迹C的方程为
(2)设,
。联立
得
.
所以,,即
. ①
且
(i)依题意,,即
.
.
,即
.
,
,解得
.
将代入①,得
.所以,
的取值范围是
.
(ii)曲线与
轴正半轴的交点为
.
依题意,, 即
.
于是.
,
即,
.
化简得.得,
或
,均满足
.
当时,直线
的方程为
,直线过定点
(舍去);
当时,直线
的方程为
,直线过定点
.
所以,直线过定点.
知识点
已知“∃x∈R,ax2+2ax+1≤0”为假命题,则实数a的取值范围是 _________ 。
正确答案
解析
∵“∃x∈R,ax2+2ax+1≤0”为假命题,
∴其否定“∀x∈R,ax2+2ax+1>0”为真命题,
当a=0时,显然成立;
当a≠0时,ax2+2ax+1>0恒成立可化为:
解得0<a<1
综上实数a的取值范围是[0,1),故答案为:[0,1)
知识点
已知A、B是椭圆上两动点,O为原点,定点
,向量
在向量
方向上的投影分别是
,且
,动点P满足
,
(1)求点P的轨迹G的方程;
(2)记定点,求证:无论动点Q在轨迹G上如何运动,
为定值。
正确答案
见解析。
解析
(1)设点P的坐标为,设
的坐标分别为
,
由得:
,
又…①
…②
,
,
…③
由①+②+2×③得:
∴轨迹G的方程是:
(2)因为为轨迹G的两个焦点
所以,,设
则
又
所以
因为
所以…
知识点
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