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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如题(22)图所示的两个同心圆盘均被刀等分(n∈N*,n2),在相重叠的扇形格中依次同时填上1,2,3,…,n,内圆盘可绕圆心旋转,每次可旋转一个扇形格,格中两数之积的和为此位置的“旋转和”。

(1)求,2个不同位置的“旋转和”的和;

当内圆盘旋转到某一位置时,定义所有重叠扇形

(2)当,z为偶数时,求聍个不同位置的“旋转和”的最小值;

(3)设刀=4m(m∈N*),,在如图所示的初始位置将任意而

对重叠的扇形格中的两数均改写为0,证明:当m≤4时,

通过旋转,总存在一个位置,任意重叠的扇形格中两数不同时为0。

正确答案

见解析

解析

(1)由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积,故个不同位置的“旋转和”的和为

(2)设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为

所以当时,,当时,,所以时,最小,

最小值

(3)证明:将图中所有非数改写为,现假设任意位置,总存在一个重叠的扇形格中两数同时为,则此位置的“旋转和”必大于或等于,初始位置外的个位置的“旋转和”的和为

,则有,即,这与矛盾,故命题得证。

知识点

简单复合函数的导数
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

一次测验中,某道多项选择题有4个选项,恰好选中全部正确选项得6分,恰好选中部分正确选项得2分选中错误选项或不选得0分,现已知此题有两个正确选项,一考生选择每个选项的概率都为

(1)求此考生的答案中至少包含一个正确选项的概率;

(2)求此考生此题得分的数学期望。

正确答案

见解析。

解析

(1)

(2)

知识点

简单复合函数的导数
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设点P是圆上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为Po,且

(1)求点M的轨迹C的方程;

(2)设直线:与(1)中的轨迹C交于不同的两点A,B。

(i)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;

(ii)若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标。

正确答案

见解析

解析

(1)设点,则由题意知.

,且

.所以于是

,所以.所以,点M的轨迹C的方程为

(2)设 。联立

.

所以,,即.    ①

(i)依题意,,即.

.

,即.

,解得.

代入①,得.所以,的取值范围是.

(ii)曲线轴正半轴的交点为.

依题意,, 即.

于是.

.

化简得.得,,均满足.

时,直线的方程为,直线过定点(舍去);

时,直线的方程为,直线过定点.

所以,直线过定点.

知识点

简单复合函数的导数
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知“∃x∈R,ax2+2ax+1≤0”为假命题,则实数a的取值范围是 _________ 。

正确答案

解析

∵“∃x∈R,ax2+2ax+1≤0”为假命题,

∴其否定“∀x∈R,ax2+2ax+1>0”为真命题,

当a=0时,显然成立;

当a≠0时,ax2+2ax+1>0恒成立可化为:

解得0<a<1

综上实数a的取值范围是[0,1),故答案为:[0,1)

知识点

简单复合函数的导数
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知A、B是椭圆上两动点,O为原点,定点,向量在向量方向上的投影分别是,且,动点P满足

(1)求点P的轨迹G的方程;

(2)记定点,求证:无论动点Q在轨迹G上如何运动,为定值。

正确答案

见解析。

解析

(1)设点P的坐标为,设的坐标分别为

得:

…①           …②

…③

由①+②+2×③得:

∴轨迹G的方程是:

(2)因为为轨迹G的两个焦点

所以,,设

所以

因为

所以

知识点

简单复合函数的导数
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