平面向量数量积的坐标运算
共1919题

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题型：简答题

简答题

设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量=(1-cos(A+B)，cos)，=(，cos)且•=，

（1）求tanA•tanB的值；

（2）求的最大值．

正确答案

（1）由•=，得[1-cos(A+B)]+cos2=．…（2分）

即 [1-cos(A+B)]+=，

亦即 4cos（A-B）=5cos（A+B），…（4分）

所以 tanA•tanB=．…（6分）

（2）因==tanC，…（8分）

而tan(A+B)==(tanA+tanB)≥×2=，

所以，tan（A+B）有最小值，…（10分）

当且仅当tanA=tanB=时，取得最小值．

又tanC=-tan（A+B），则tanC有最大值-，故的最大值为-．…（13分）

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=sin2x-(cos2x-sin2x)-1，x∈R，将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．

（Ⅰ）若c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；

（Ⅱ）若g（B）=0且=(cosA，cosB)，=(1，sinA-cosAtanB)，求•的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）f(x)=sin2x-(cos2x-sin2x)-1=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1．…（1分）

f(C)=sin(2C-)-1=0，所以sin(2C-)=1．

因为2C-∈(-，)，

所以2C-=

所以C=．…（3分）

由余弦定理知：a2+b2-2abcos=7，因sinB=3sinA，

所以由正弦定理知：b=3a．…（5分）

解得：a=1，b=3…（6分）

（Ⅱ）由题意可得g(x)=sin(2x+)-1，所以g(B)=sin(2B+)-1=0，所以sin(2B+)=1．

因为2B+∈(，)，所以2B+=，即B=

又=(cosA，)，=(1，sinA-cosA)，

于是•=cosA+(sinA-cosA)=cosA+sinA=sin(A+)…（8分）

∵B=∴A∈(0，π)，得 A+∈(，π)…（10分）

∴sin(A+)∈(0，1]，即•∈(0，1]．…（12分）

题型：简答题

简答题

已知向量=（cosωx-sinωx，sinωx），=（-cosωx-sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

正确答案

（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx-sinωx）×（-cosωx-sinωx）+sinωx×2cosωx+λ

=-（cos2ωx-sin2ωx）+sin2ωx+λ

=sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-）+λ

∵图象关于直线x=π对称，∴2πω-=+kπ，k∈z

∴ω=+，又ω∈（，1）

∴k=1时，ω=

∴函数f（x）的最小正周期为=

（2）∵f（）=0

∴2sin（2××-）+λ=0

∴λ=-

∴f（x）=2sin（x-）-

由x∈[0，]

∴x-∈[-，]

∴sin（x-）∈[-，1]

∴2sin（x-）-=f（x）∈[-1-，2-]

故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[-1-，2-]

题型：简答题

简答题

已知向量=（2sinx，0），=（sinx+cosx，sinx-cosx），且f（x）=•

（1）求f（x）的最小正周期和最小值；

（2）若f（α）=1，sinβ=，0＜α＜＜β＜π，求cos（2α+β）的值．

正确答案

（1）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx

=1-cos2x+sin2x

=sin（2x-）+1，

∴f（x）的最小正周期T==π，f（x）min=-+1…6分

（2）由f（α）=1得，sin（2α-）=0，即2α-=kπ，则α=+（k∈Z），

又α∈（0，），则α=…8分

由sinβ=，0＜α＜＜β＜π，得cosβ=-…10分

∴cos（2α+β）=cos（+β）=cosβ-sinβ=--…12分

题型：简答题

简答题

已知向量=(sinωx，0)，=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=•(+)+t的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为，且当x∈[0，]时f（x）的最小值为．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）的单调递增区间；

（3）若对任意x1，x2∈[0，]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）∵+=(sinωx+cosωx，-sinωx)，

∴f(x)=•(+)+t=sinωx(sinωx+cosωx)+t

=3sin2ωx+sinωxcosωx+t=+sin2ωx+t=sin2ωx-cos2ωx++t=sin(2ωx-)++t，

由题意可得=，∴ω=1．

∵0≤x≤，∴-≤2x-≤．

又f（x）的最小值为=×（-）++t，

∴t=，

故 f(x)=sin(2x-)+3．

（2）令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，可得-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，

∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

即单调递增区间为：[-+kπ，+kπ]，k∈Z．

（3）当x∈[0，]时，f（x）的最大值为 ×（）++=，最小值为，

∴|f（x1）-f（x2）|的最大值为-=3．

∵对任意x1，x2∈[0，]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，

∴m＞3，即实数m的取值范围为（3，+∞）．

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