数量积判断两个平面向量的垂直关系
共499题

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数量积判断两个平面向量的垂直关系
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题型：填空题

填空题

以下命题

①x∈R，x+≥2恒成立；

②△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；

③若向量=(x1，y1) ，=(x2，y2)，则⊥⇔x1•x2+y1•y2=0；

④对等差数列{an}前n项和Sn，若对任意正整数n有Sn+1＞Sn，则an+1＞an对任意正整数n恒成立；

⑤a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行但不重合的充要条件．

其中正确的序号是______．

正确答案

对于①因为当x＜0时，x+≥2不成立，故不正确；对于②，因为△ABC中，当sinA=sinB时，A=B或A+B=π，故三角形是等腰三角形，故正确．对于③若向量=(x1，y1) ，=(x2，y2)，则⊥⇔x1•x2+y1•y2=0，正确；

对于④对等差数列{an}前n项和Sn，若对任意正整数n有Sn+1＞Sn，则an+1＞0，不一定是an+1＞an，故不正确．⑤a=3时，可检验两直线平行且不重合，但当两直线平行且不重合时，经检验，a=0和a=1不成立，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求得a=3，故 a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的充要条件，故正确．

故答案为②③⑤．

题型：简答题

简答题

平面向量=(，1)，=(，)，若存在不同时为0的实数k和t，使=+(t2-3)，=-k+t且⊥，试求函数关系式k=f（t）

正确答案

解∵=(，-1)，=(，)，

∴．||=2，||=1且⊥

∵⊥，

∴•=0，

即-k|a|2+t（t2-3）|b|2=0，

∴t3-3t-4k=0，

即k=t3-t．

题型：简答题

简答题

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（　　）

①f（）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．

正确答案

题型：简答题

简答题

已知平面向量=（，），=（，）．

（1）证明：⊥；

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t2-k），=-s+t，且⊥，试求s=f（t）的函数关系式；

（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，试求k的取值范围．

正确答案

（本小题满分12分）

（1）证明：由题知||=||=1，且•=×-×=0，

∴⊥．（4分）

（2）由于⊥，则•=0，

从而-s||2+（t+sk-st2）•+t（t2-k）||2=0，

故s=f（t）=t3-kt．（8分）

（3）设t1＞t2≥1，

则f(t1)-f(t2)=t13-kt1-(t13-kt2）

=（t1-t2）（t12+t1t2+t22-k），

∵s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，

∴t12+t1t2+t22-k＞0，

即k＜t12+t1t2+t22在[1，+∞）上恒成立，

∵t12+t1t2+t22＞3，

∴只需k≤3即可．（12分）

题型：简答题

简答题

已知向量=(，1)，向量是与向量夹角为的单位向量．

（1）求向量；

（2）若向量与向量=(-，1)平行，与向量=(x2，x-y2)垂直，求t=y2+5x+4的最大值．

正确答案

（1）设=（x，y），

∵向量是单位向量，

∴x2+y2=1．

∵向量与向量夹角为，

∴cos=，

∴x+y=1，

解方程组，

得x=0，y=1，或x=，y=-．

∴=（0，1），或=(，-)．

（2）∵=（0，1）和向量=(-，1)不平行，

∴向量=(，-)，

向量与向量=(-，1)平行，与向量=(x2，x-y2)垂直，

∴•x2+(-) •(x-y2)=0，

∴3x2-x+y2=0．

t=y2+5x+4

=（-3x2+x）+5x+4

=-3x2+6x+4，

因为-3x2+x＞0

所以0＜x＜，

所以当x=时，t=-3x2+6x+4取最大值tmax=．

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