平面向量数量积的坐标运算
共1919题

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题型：简答题

简答题

设平面向量=(cosx，sinx)，=(，)，函数f(x)=•+1．

①求函数f（x）的值域；

②求函数f（x）的单调增区间．

③当f(α)=，且＜α＜时，求sin(2α+)的值．

正确答案

依题意f（x）=（cosx，sinx）•(，)+1=cosx+sinx+1（2分）

=sin(x+)+1（5分）

①函数f（x）的值域是[0，2]；（6分）

②令-+2kπ≤x+≤+2kπ，

解得：-+2kπ≤x≤+2kπ，

所以函数f（x）的单调增区间为[-+2kπ，+2kπ](k∈Z)；（8分）

③由f(α)=sin(α+)+1=，得sin(α+)=，

因为＜α＜，所以＜α+＜π，

得cos(α+)=-，（11分）

则sin(2α+)=sin2(α+)

=2sin(α+)cos(α+)=-2××=-（13分）．

题型：简答题

简答题

△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2•=a2-(b+c)2．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求2cos2-sin(-B)的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

正确答案

解（Ⅰ）由已知2•=a2-(b+c)2，

化为2bccosA=a2-b2-c2-2bc，（2分）

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得4bccosA=-2bc，

∴cosA=-，（4分）

∵0＜A＜π，∴A=．（6分）

（Ⅱ）∵A=，∴B=-C，0＜C＜．

2cos2-sin(-B)=2×+sin(-B)

=+2sin(C+)．（8分）

∵0＜C＜，∴＜C+＜，

∴当C+=，2cos2-sin(-B)取最大值2+，

解得B=C=．（12分）

题型：简答题

简答题

已知=(sinx，1)，=(cosx，-)，若f(x)=•(-)，求：

（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．

（2）f（x）的单调递增区间．

（3）当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．

正确答案

由题意可得：f(x)=

2-•=sin2x+1-(sinxcosx-)=+-sin2x

=2-(sin2x+cos2x)=2-sin(2x+)…（4分）

（1）由上可知：T==π…（5分）

由2x+=kπ+解得：对称轴方程为x=+(k∈z)…（7分）

（2）f（x）增区间即为sin(2x+)的减区间，

由2kπ+≤2x+≤2kπ+，解得

f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+π](k∈z)…（10分）

（3）∵0≤x≤∴≤2x+≤π

∴-≤sin(2x+)≤1

∴值域为[2-，]…（13分）

题型：简答题

简答题

已知M（a，b），N（sinωx，cosωx）（ω＞0），记f（x）=•（O为坐标原点）．若f（x）的最小正周期为2，并且当x=时，f（x）的最大值为5．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）对任意的整数n，在区间（n，n+1）内是否存在曲线y=f（x）的对称轴？若存在，求出此对称轴方程；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）由题设条件知f（x）=asinωx+bcosωx=5sin（ωx+φ），

由已知得，得ω=π，φ=，

所以f（x）=5sin（πx+），．

（2）曲线f（x）有对称轴x=x0的充要条件是5sin（πx0+）=±5．即πx0+=kπ+即x0=k+，k∈Z，

令n＜k+＜n+1 得k=n （n∈Z），

所以在区间（n，n+1）内存在曲线f（x）的对称轴，

其方程是x=n+，n∈Z，

题型：简答题

简答题

已知向量=(2cosx，cos2x)，=(sinx，1)，令f(x)=•．

（Ⅰ）求 f （）的值；

（Ⅱ）求x∈[-，]时，f （x）的单调递增区间．

正确答案

（Ⅰ）f(x)=•=2cosxsinx+cos2x=sin2x+cos2x，（3分）

∴f()=sin+cos=1（3分）

（Ⅱ）f(x)=sin(2x+)，（3分）

当-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z）时，f（x）单增，（2分）

即-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）∵x∈[-，]，

∴f（x）在[-，]上的单调递增区间为[-，]．（3分）

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