热门试卷

（II）原函数的图象与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上．

（III）证明：设（a，b）是f（x）的图象与其反函数的图象的任一点，

由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，

则（b，a）也是f（x）的图象与反函数的图象的交点，

且b=f（a），a=f（a），

若a＞b时，交点显然在y=x上．

若a＜b，且f（x）是增函数时，有f（b）＜f（a），从而b＜a．矛盾；

若b＜a，且f（x）是增函数时，有f（a）＜f（b），从而a＜b．矛盾；

若a＜b，且f（x）是减函数时，有f（b）＜f（a），从而a＜b．此时交点不在y=x上；

若b＜a，且f（x）是减函数时，有f（a）＜f（b），从而b＜a．此时交点不在y=x上．

综上所述，f（x）单调递增，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点在y=x上；f（x）单调递减，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点不在y=x上．

（1）由题意可得f（x）=•+1=cos2x-cos（2x-）+1

=cos2x-cos2x-sin2x+1=cos2x-sin2x+1

=1-sin（2x-），所以其最小正周期为π，

由2kπ-≤2x-≤2kπ+解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

故函数的单调递减区间为：（kπ-，kπ+），k∈Z，

（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-）

因为x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，

即方程sin（2x-）=1+在区间（0，π）上恰有两根，

∴-1＜1+＜1且1+≠-，

解得-4＜k＜0，且k≠-3

f（x）=cos2x-||sinx-||=-sin2x-||sinx-||+1=-(sinx+)2+-||+1，

因为-1≤sinx≤1，0＜||≤2⇒-1＜-＜0，

所以当sinx=-时，f（x）取得最大值为-||+1，

当sinx=1时，f（x）取得最小值为-||-||，

由题意得，-||+1=0①，-||-||=-4②，

联立①②解得||=2，||=2，

又与的夹角为45°，

所以(+)2=

a

2+

b

2+2•=4+4+2×2×2cos45°=8+4．

（I）∵=(sinx，-1)，=(cosx，)，

∴+=（sinx+cosx，-），可得

f(x)=(+)•=sinx（sinx+cosx）+=sin2x+sinxcosx+

∵sin2x=（1-cos2x），sinxcosx=sin2x

∴f（x）=（1-cos2x）+sin2x+=sin（2x-）+1

因此，f（x）的最小正周期T==π；

（II）∵x∈[，]，可得2x-∈[，]

∴sin（2x-）∈[，1]，得f（x）=sin（2x-）+1的值域为[，2]

∵方程f（x）-t=0在x∈[，]上有解，

∴f（x）=t在x∈[，]上有解，可得实数t的取值范围为[，2]．