平面向量数量积的坐标运算
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题型：简答题

简答题

已知向量=(cosx，2sinx)，=(2cosx，cosx)，f(x)=•．

（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）单调递增区间．

正确答案

（1）∵=(cosx，2sinx)，=(2cosx，cosx)

∴f(x)=•=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=2sin(2x+)+1

∴函数f（x）的最小正周期T==π

（2）又2kπ-≤2x+≤2kπ+，解得kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z）

∴函数的递增区间是：[kπ-，kπ+]，（k∈Z）

题型：简答题

简答题

已知A、B、C三点的坐标分别为A（-sin，sin)，B（sin，-2cos)，C（cos，0）．

（Ⅰ）求向量和向量的坐标；

（Ⅱ）设f(x)=•，求f（x）的最小正周期；

（Ⅲ）求当x∈[，]时，f（x）的最大值及最小值．

正确答案

（Ⅰ）=(cos+sin，-sin)，=(cos-sin，2cos)．

（Ⅱ）∵f(x)=•

=(cos+sin)•(cos-sin)+(-sin)•2cos

=cos2-sin2-2sincos

=cosx-sinx

=(cosx•-sinx•)

=cos(x+)

∴f（x）的最小正周期T=2π．

（Ⅲ）∵≤x≤，∴≤x+≤．

∴当x+=π，即x=时，f（x）有最小值-，

当x+=，即x=时，f（x）有最大值．

题型：简答题

简答题

已知A(-，2)，B(2sin2x-1，sinxcosx)，O为坐标原点，f(x)=•

（1）求f（x）的值域与最小正周期；

（2）试描述函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

正确答案

（1）由题意可得=(-，2)，=(2sin2x-1，sinxcosx)，…（1分）

∴f(x)=•=-(2sin2x-1)+2sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin(2x+)，…5

故函数的值域为[-2，2]，周期为T=π．…（7分）

（2）把函数y=sinx的图象的横坐标变为原来的一半，可得函数y=sin2x的图象，再向左平移个单位可得y=sin（2x+）的图象，

再把各点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到函数f（x）=2sin（2x+）的图象．

题型：简答题

简答题

已知=(2cosx，2sinx)，=(cosx，cosx)，函数f(x)=•；

（I）求函数f（x）的最小正周期；

（II）当x∈[，]时，求f（x）的取值范围．

正确答案

（1）函数f(x)=•=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=2sin(2x+)+1

所以函数f（x）的最小正周期T==π

（2）因为x∈[，]，

所以(2x+)∈[，]，

所以2sin(2x+)+1∈[+1，3]．

所以f（x）的取值范围为[+1，3]

题型：简答题

简答题

已知向量=(cosx，sinx)，=(cosx，cosx)，设函数f(x)=•

（I）求f（x）的解析式，并求最小正周期；

（II）若函数g（x）的图象是由函数f（x）的图象向右平移个单位得到的，求g（x）的最大值及使g（x）取得最大值时x的值．

正确答案

（I）∵向量=(cosx，sinx)，=(cosx，cosx)，

∴函数f(x)=•=cos2x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x=sin（2x+）+

即f（x）的解析式为y=sin（2x+）+，最小正周期为T==π；

（II）将f（x）的图象向右平移个单位，得到y=f（x-）=sin[2（x-）+]+，

即y=sin2x+的图象，因此g（x）=sin2x+

令2x=+2kπ（k∈Z），得x=+kπ（k∈Z）

∴当x=+kπ（k∈Z），g（x）=sin2x+取得最大值+

即[g（x）]max=+，相应的x=+kπ（k∈Z）

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