平面向量数量积的坐标运算
共1919题

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题型：简答题

简答题

已知|2，|3，与的夹角为120°．

（Ⅰ）求•；

（Ⅱ）求|+|．

正确答案

（1）•=||||cosθ=2×3×cos120°=-3

（2）|

|2=

2+2 •+

=9+2||||cos120°+4

=13-6

∴|+|=

题型：简答题

简答题

设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．

（Ⅰ）试求向量2+的模

（Ⅱ）试求向量与的夹角；

（Ⅲ）试求与垂直的单位向量的坐标．

正确答案

（Ⅰ）∵=（0-1，1-0）=（-1，1），=（2-1，5-0）=（1，5）．

∴2+=2（-1，1）+（1，5）=（-1，7）．

∴|2+|==．…（4分）

（Ⅱ）∵||==．

||==，•=（-1）×1+1×5=4．

∴cosA===．…（8分）

（Ⅲ）设所求向量为=（x，y），则x2+y2=1． ①

又 =（2-0，5-1）=（2，4），由⊥，得2 x+4 y=0． ②

由①、②，得或

∴=（，-）或（-，）．…（12分）

题型：简答题

简答题

已知||=4，||=3，(2-3)(2+)=61，

（1）求与的夹角θ；

（2）求|+|；

（3）若=，=，求△ABC的面积．

正确答案

（1）∵(2-3)(2+)=61，∴4||2-4•-3||2=61，

又||=4，||=3，∴64-4•-27=61，∴•=-6，

∴cosθ===-

又0≤θ≤π，

∴θ=

（2）|a+b|===

（3）∵与的夹角θ=，

∴∠ABC=π-=

又||=|a|=4，||=|b|=3

∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3

题型：简答题

简答题

已知点列An（xn，0）满足：•=a-1，其中n∈N，又已知x0=-1，x1=1，a＞1．

（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式；

（2）已知点B(，0)，记an=|BAn|（n∈N*），且an+1＜an成立，试求a的取值范围；

（3）设（2）中的数列an的前n项和为Sn，试求：Sn＜．

正确答案

（1）∵A0（-1，0），A1（1，0），∴•=(xn+1)(xn+1-1)，

∴（xn+1）（xn+1-1）=a-1，∴xn+1=f(xn)=，

∴f(x)=．（3分）

（2）∵xn+1=f(xn)=，a＞1，∴xn＞1，∴xn+1＞2

∵=(xn-，0)，∴an=|BAn|=|x n-|．

∵an+1=|x n+1-|=|f(xn)-|=|-|=•|xn-|＜(-1)•|xn-|=(-1)an

∴要使an+1＜an成立，只要-1≤2，即1＜a≤9

∴a∈（1，9]为所求．（6分）

（3）∵an+1＜(-1)|xn-|＜

(

-1)2•|x n-1-|＜…＜＜(

-1)n•|x 1-|=(

-1)n+1，

∴an＜(

-1)n（9分）

∴Sn=a1+a2+…+an＜(-1)+

(

-1)2+…+(

-1)n=

（11分）

∵1＜a≤9，∴0＜≤1，∴0＜()n≤1（13分）

∴＜＜

∴Sn＜（14分）

题型：简答题

简答题

已知向量=(sinx，cosx)，=(cosx，cosx)且≠0，函数f（x）=2•-1

（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（II）若=，分别求tanx及的值．

正确答案

（I）函数f（x）=2•-1=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

故函数的周期为 =π，

令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（II）若=，则sinx=cosx，即 tanx=．

∴====-．

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