平面向量数量积的坐标运算
共1919题

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题型：简答题

简答题

已知平面向量=(，-1)，=(，)．

（1）求证：⊥；

（2）设=+(x-3)，=-y+x（其中x≠0），若⊥，试求函数关系式y=f（x），并解不等式f（x）＞7．

正确答案

（1）∵•=0∴⊥；

（2）由⊥得，-4y+x（x-3）=0，所以 y=x(x-3)；

由x(x-3)＞7变形得：x2-3x-28＞0，解得x＞7或x＜-4．

所以不等式的解集是（-∞，-4）∪（7，+∞）

题型：简答题

简答题

若向量、都是非零向量，且满足（-2）⊥，（-2）⊥．求向量、的夹角θ的值．

正确答案

∵（ -2）⊥，（ -2）⊥，

∴（ -2）•=

2-2 • =0，

（ -2）•=

2-2 •=0，∴

2=2 •，设与的夹角为θ，

则由两个向量的夹角公式得 cosθ====，

∴θ=60°，

故向量、的夹角θ的值为60°．

题型：简答题

简答题

平面内动点M（x，y），=（x-2，y），=（x+2，y）且•=0

（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且=

①求k的值；

②若点N（，1），求△NCD面积取得最大时直线l的方程．

正确答案

（Ⅰ）设动点M（x，y）．

∵•=0，∴(x-2)(x+2)+(y)2=0，

化为+=1，即为点M的轨迹E的方程．

（Ⅱ）①在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得B（0，m），A(-，0)．

设C（x1，y1），D（x2，y2），

由得到（1+2k2）x2+4mkx+2m2-4=0，

△=16m2k2-4（1+2k2）（2m2-4）=32k2-8m2+16，

x1+x2=-，x1x2=．

∵=，∴--x1=x2，∴-=-，

又m≠0，化为4k2=1+2k2，k2=，

∵k＞0，∴k=．

②|CD|=|x1-x2|===．

点N到CD的距离d==|m|．

∴S△NCD=|CD|•d=••|m|=|m|=≤()=．

当且仅当4-m2=m2时等号成立，即m2=2，解得m=±．，此时△＞0，

所以直线的方程为l：y=x±．

题型：简答题

简答题

已知平面向量=(，-1)，=(，)．

（1）求证：⊥；

（2）设=+(x-3)，=-y+x（其中x≠0），若⊥，试求函数关系式y=f（x），并解不等式f（x）＞7．

正确答案

（1）∵•=0∴⊥；

（2）由⊥得，-4y+x（x-3）=0，所以 y=x(x-3)；

由x(x-3)＞7变形得：x2-3x-28＞0，解得x＞7或x＜-4．

所以不等式的解集是（-∞，-4）∪（7，+∞）

题型：填空题

填空题

设θ∈[0，2π]，=（cosθ，sinθ），=（3-cosθ，4-sinθ）．则P1、P2两点间距离的取值范围是______．

正确答案

∵=-=（3-2cos θ，4-2sin θ），

∴||2=（3-2cos θ）2+（4-2sin θ）2

=29-12cos θ-16sin θ=29-20cos（θ+α），

∴3≤||≤7．

故答案为3≤||≤7．

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