平面向量数量积的坐标运算
共1919题

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题型：简答题

简答题

已知三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设向量=(c-2b，a)，=(cosA，cosC)，且⊥．

（1）求角A的大小；

（2）若•=4，求边长a的最小值．

正确答案

（1）由⊥得 =(c-2b)cosA+acosC=0⇒2sinBcosA=sinB，

可得cosA=⇒A=600．-------（3分）

（2）由•=4求得bccosA=4，求得bc=8，可得a2=b2+c2-2bccosA≥2bc-bc=bc=8，

当且仅当b=c=2时取等号，所以a的最小值为2．------（3分）

题型：填空题

填空题

设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

①(•)•-(•)•=；

②||-||＜|-|；

③(•)-(•)不与垂直；

④(3+2)•(3-2)=9||2-4||2中是真命题的有 ______．

正确答案

对于①，因为(•)•是与共线的，而(•)•是与共线的，所以①错

对于②利用向量模的性质由||-||≤|-|当两个向量同向时取等号，故②对

对于③因为[(•)-(•)]•=[(•)-(•)• =0，故(•)-(•)⊥，故③错

对于④，(3+2)•(3-2)=9

2-4

2=9||2-4||2，故④对

故答案为②④

题型：填空题

填空题

有两个向量=(1，0)，=(0，1)，今有动点P，从P0（-1，2）开始沿着与向量+相同的方向作匀速直线运动，速度为|+|；另一动点Q，从Q0（-2，-1）开始沿着与向量3+2相同的方向作匀速直线运动，速度为|3+2|．设P、Q在时刻t=0秒时分别在P0、Q0处，则当⊥时，t=______秒．

正确答案

经过t时刻后点P坐标为（-1+t，2+t），点Q的坐标为（-2+3t，-1+2t）

∴=(2t-1，t-3)，=(-1，-3)

∵⊥

∴•=1-2t-3t+9=0

即t=2

故答案为：2

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．

（ I）确定角B的大小；

（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

正确答案

（ I）∵⊥，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，

在△ABC中，由正弦定理得：===k≠0，

∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得

k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．

∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，

∴cosB=-，解得B=．

（ II）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，S△ABC=xysin=xy，S△ABD=yisn=y，S△BCD=xsin=x，

∴xy=x+y，

∴y=，x∈(1，+∞)．

在△ABC中，由余弦定理得：

AC2=x2+y2-2xycos=x2+y2+xy=（x+y）2-xy=（x+y）2-（x+y）=(x+y-)2-．

∵x+y=xy≤，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，

∴AC2≥(4-)2-，∴AC≥2．

∴AC的取值范围是：AC∈[2，+∞)．

题型：填空题

填空题

在周长为16的△PMN中，MN=6，则•的最小值是______．

正确答案

设PM=x，则PN=10-x，∠MPN=θ

所以•=x（10-x）cosθ，

在△PMN中，由余弦定理得cosθ=

∴•=x2-10x+32（2≤x≤8）

y=x2-10x+32的对称轴为x=5

当x=5时•最小值为7，

故答案为：7．

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