利用导数证明不等式
共265题

· 利用导数证明不等式

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题型：填空题

填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

题型：填空题

填空题 · 4 分

从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率

为（结果用最简分数表示）。

正确答案

解析

考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.

正确答案

解析

由基本不等式可得4x＋≥＝，当且仅当4x＝即时等号成立，

∴，a＝36.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根。

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3.又{an}是递增的等差数列，

故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，

故an=2+（n﹣2）×=n+1，

（2）设数列{}的前n项和为Sn，

Sn=，①

Sn=，②

①﹣②得Sn==，

解得Sn==2﹣

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

下列函数中，定义域是且为增函数的是（）

正确答案

解析

对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为；选项D，在上是减函数，故选B.

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.

正确答案

－4

解析

时，；时，，所以输出的的值为-4.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间和极值。

正确答案

（1）

解析

（1）由已知切线斜率，故，而

故

（2）此时，其中

令得增区间；令得减区间；

故当时具有极小值，没有极大值。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，。

（1）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；

（2）设，解关于x的方程；

（3）设，证明：。

正确答案

见解析

解析

（1），

。

令，得（舍去）。

当时。；当时，，

故当时，为增函数；当时，为减函数。

为的极大值点，且。

（2）方法一：原方程可化为，

即为，且

①当时，，则，即，

，此时，∵，

此时方程仅有一解。

②当时，，由，得，，

若，则，方程有两解；

若时，则，方程有一解；

若或，原方程无解。

方法二：原方程可化为，

即，

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解。

（3）由已知得，

。

设数列的前n项和为，且（）

从而有，当时，。

又

。

即对任意时，有，又因为，所以。

则，故原不等式成立。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

复数(2＋i)2等于(　　)

A3＋4i

B5＋4i

C3＋2i

D5＋2i

正确答案

解析

(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A（0，]

B（0，]

C[0，]

D[0，]

正确答案

解析

由题意可得，要求的直线的斜率存在，设为k，则直线方程为 y+1=k（x+），

即 kx﹣y+k﹣1=0。

根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 ≤1，

即 3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]

知识点

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