- 利用导数证明不等式
- 共265题
设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的最大值;
(3)证明:.
正确答案
见解析
解析
(1)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0.
因为f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn,所以f′(1)=-a.
又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以-a=-1,即a=1.故a=1,b=0.
(2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1,f′(x)=(n+1)·xn-1。
令f′(x)=0,解得,即f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点.
在(0,)上,f′(x)>0,故f(x)单调递增;
而在(,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调递减。
故f(x)在(0,+∞)上的最大值为.
(3)令φ(t)=ln t-1+(t>0),
则(t>0)。
在(0,1)上,φ′(t)<0,
故φ(t)单调递减;
而在(1,+∞)上,φ′(t)>0,
故φ(t)单调递增,
故φ(t)在(0,+∞)上的最小值为φ(1)=0,
所以φ(t)>0(t>1),
即ln t>1-(t>1)。
令t=1+,得,
即,
所以,即.
由(2)知,,
故所证不等式成立。
知识点
设f(x)=ln x+-1,证明:
(1)当x>1时,f(x)<(x-1);
(2)当1<x<3时,。
正确答案
见解析
解析
(1)证法一:记g(x)=ln x+-1-(x-1),则当x>1时,
。
又g(1)=0,有g(x)<0,即f(x)<(x-1)。
证法二:由均值不等式,当x>1时,<x+1,故
。①
令k(x)=ln x-x+1,则k(1)=0,k′(x)=-1<0。
故k(x)<0,即ln x<x-1。②
由①②得,当x>1时,f(x)<(x-1)。
(2)证法一:记h(x)=f(x)-。
由(1)得
=。
令g(x)=(x+5)3-216x。
则当1<x<3时,g′(x)=3(x+5)2-216<0,
因此g(x)在(1,3)内是递减函数。
又由g(1)=0,得g(x)<0,
所以h′(x)<0,
因此h(x)在(1,3)内是递减函数。
又h(1)=0,得h(x)<0。
于是当1<x<3时,。
证法二:记h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),
则当1<x<3时,由(1)得
h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9
<(x-1)+(x+5)()-9
=[3x(x-1)+(x+5)(2+)-18x]
<[3x(x-1)+(x+5)(2++)-18x]
=(7x2-32x+25)<0,
因此h(x)在(1,3)内单调递减。
又h(1)=0,所以h(x)<0,即。
知识点
已知函数f(x)=-x3+ax2-4(),是f(x)的导函数。
(1)当a=2时,对于任意的m[-1,1],n[-1,1],求f(m)+的最小值;
(2)若存在,使>0,求a的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意知
令
当在[-1,1]上变化时,随的变化情况如下表:
的最小值为
的对称轴为,且抛物线开口向下,
的最小值为
的最小值为-11.
(2).
①若,上单调递减,
又
②若当
从而上单调递增,在上单调递减,
.
根据题意,
综上,的取值范围是
(或由,用两种方法可解)
知识点
高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形,点、、、、均在半径为1的同一球面上,则底面的中心与顶点之间的距离为( ).
正确答案
解析
知识点
已知椭圆的左右顶点分别为,离心率。
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为曲线:上任一点(点不同于),直线与直线交于点,为线段的中点,试判断直线与曲线的位置关系,并证明你的结论。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意可得,, ∴
∴,
所以椭圆的方程为。
(2)曲线是以为圆心,半径为2的圆。
设,点的坐标为,
∵三点共线, ∴,
而,,则,
∴,
∴点的坐标为,点的坐标为,
∴直线的斜率为,
而,∴,
∴,
∴直线的方程为,化简得,
∴圆心到直线的距离,
所以直线与曲线相切。
知识点
若点满足线性约束条件的最大值为
正确答案
解析
略
知识点
已知函数.()。
(1)当时,求函数的极值;
(2)若对,有成立,求实数的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,
=,
令,解得.
当时,得或;
当时,得.
当变化时,,的变化情况如下表:
∴当时,函数有极大值,
当时函数有极小值,
(2)∵,∴对,成立,[来源:学科网ZXXK]
即对成立,---7分
①当时,有,
即,对恒成立,
∵,当且仅当时等号成立,
∴-
②当时,有,
即,对恒成立,
∵,当且仅当时等号成立,
∴
知识点
若的二项展开式中,所有二项式系数和为,则等于 。
正确答案
6
解析
略
知识点
执行如图所示的程序框图,输出的a值为___________。
正确答案
-2
解析
略
知识点
下面说法正确的是( )
正确答案
解析
存在命题的否定不但要否定量词,还要否定结论,故A错;“实数”是“”的既不充分也不必要条件,故B错;当都为假命题时,是假命题,但是真命题,故C错;若,则,或,故命题“若, 则”是假命题,故其逆否命题为假命题,D是正确的。
知识点
扫码查看完整答案与解析