- 利用导数证明不等式
- 共265题
为调查民营企业的经营状况,某统计机构用分层抽样的方法从A、B、C三个城市中,抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究,有关数据见下表:(单位:个)
(1)求、的值;
(2)若从城市A与B抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研,求这2个都来自城市A的概率.
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意得,
所以,
(2)记从城市A所抽取的民营企业分别为,从城市B抽取的民营企业分别为. 则从城市A、B抽取的6个中再随机选2个进行跟踪式调研的基本事件有
,,,,,,,,,
,,,,,共15个
其中,来自城市A: ,,,,,共6个
因此.故这2个都来自城市A的概率为.
知识点
已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为:
,(为参数),以为极轴建立极坐标系,直线极坐标方
程为: 则圆截直线所得弦长为
正确答案
解析
略
知识点
已知函数。
(1)判断的单调性;
(2)求函数的零点的个数;
(3)令,若函数在(0,)内有极值,求实数a的取值范围;
正确答案
见解析。
解析
知识点
在上任取两数,则函数有零点的概率为 。
正确答案
解析
略
知识点
已知,函数,。
(1)若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直,求,的值;
(2)设,若对任意的,且,都有,求的取值范围。
正确答案
(1),或
(2)
解析
(1),。
,。
依题意有,
可得,解得,或 , ……………6分
(2)。
不妨设,
则等价于,
即。
设,
则对任意的,且,都有,
等价于在是增函数。
,
可得,
依题意有,对任意,有。
由,可得,……………13分
知识点
已知f(x)=xlnx,.
(1)当a=2时,求函数y=g(x)在[0,3]上的值域;
(2)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有成立
正确答案
见解析。
解析
(1),x∈[0,3]
当x=1时,gmin(x)=g(1)=;当x=3时,
故g(x)值域为
(2) f'(x)=lnx+l,当f'(x)<0,f(x)单调递减,当,f'(x)>0,f(x)单调递增.
①,t无解;
②,即时,
③,即时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;
所以
(3)g'(x)+1=x,所以问题等价于证明,由(2)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是,当且仅当时取到;
设,则,易得,当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有成立。
知识点
已知函数。
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)求的极值。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,,
又 ,
所以
即在处的切线方程为
(2)因为
所以(x>0)
(1)当时,
因为,且所以对恒成立,
所以在上单调递增,无极值
(2)当时,
令,解得(舍)
所以当时,,的变化情况如下表:
所以当时,取得极小值,且。
综上,当时,函数在上无极值;当时,函数在处取得极小值。
知识点
已知函数,。
(1)若不等式在区间 ()内的解的个数;
(2)求证:。
正确答案
见解析。
解析
(1) 由,得。
令 所以,方程在区间内解的个数即为函数的图像与直线交点的个数。
当时, .
当在区间内变化时, , 变化如下:
当时,;当时,;当时,。
所以, (i)当或时,该方程无解
(ii)当或时,该方程有一个解;
(iii)当时,该方程有两个解。
(2) 由(1)知 ,∴.
∴. -
∴
∴.
∵.
∴ .
知识点
已知函数在[1,是单调增函数,则a的最大值是 ( )
正确答案
解析
略
知识点
已知,
则的值为( )
正确答案
解析
=.
又对方程两边求导得
令得
令得
所以,原式=,故选D.
知识点
扫码查看完整答案与解析