热门试卷

（1）当a=1时，，

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，

最小值为，

要使∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故实数m的取值范围是

（2）已知函数。

若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，

等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即恒成立。

设。

即g（x）的最大值小于0.

（1）当时，，

∴为减函数。

∴g（1）=﹣a﹣≤0

∴a≥﹣

∴

（2）a≥1时，。

为增函数，

g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件。

（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，

同样最大值可无穷大，不满足题意，综上，实数a的取值范围是。

（1），，所以切线的方程为

，即。

作，，则

，解得。

所以且，，，即函数（）的图像在直线的下方。

（2）有零点，即有解，

，解得，类似⑴列表讨论知，即若有零点，则；若，则无零点。

若，，由⑴知有且仅有一个零点.

若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）

若，解得，类似⑴列表讨论知，在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，

当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点，

综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点。

（1）的定义域为,  . ………1分

.  ………2分

根据题意，，

所以，即，

解得..………4分

（2）.

1）当时，因为，所以，，

所以，函数在上单调递减. ………6分

2）当时，

若，则，，函数在上单调递减；

若，则，，函数在上单调递增.  …8分

综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.………9分

（3）由（1）可知.

设，即.

.  ………10分

当变化时，，的变化情况如下表：

是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.

可见，.………13分

所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有.  ………14分