- 三角函数的周期性及其求法
- 共131题
7.函数f（x）=（
A
Bπ
C
D2π
正确答案
知识点
16.已知函数
（Ⅰ）求函数
（Ⅱ）若
正确答案
（Ⅰ）函数
（Ⅱ）
解析
本题第二问特别要注意：一定要结合函数的定义域正确书写增区间．
所以函数
（Ⅱ）解：由
得
所以函数
所以当
（注：或者写成增区间为
考查方向
解题思路
本题主要考查正、余弦的二倍角公式及
1、把
2、由
3、最后通过
易错点
本题体现了三角函数部分的基本的解题思想方法，为学生非常熟悉的题型对于第二问可能由于思维定势审题不全忽略
知识点
（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若
正确答案
考查方向
易错点
1、本题在第一问
知识点
17.设函数
（1）求函数
（2）若
正确答案
（1）
（2）
解析
试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关三角函数的知识，即可解决本题，解析如下：
试题解析：（1）
∴函数f(x)的最小正周期
当
当
（2）因为
∴
∵
由余弦定理得：
∴
考查方向
解题思路
（1）先用两角和与差的正弦化简
（2）先根据解析式求得角
易错点
相关知识点不熟容易证错。
知识点
（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；
（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
正确答案
解：（1）g（x）=x+sin
∴
∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）∵f（x）的值域为R；
∴存在x0，使f（x0）=c；
又c∈[f（a），f（b）]；
∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；
∴a≤x0≤b；
即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；
（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；
则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；
∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；
∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；
∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：
①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；
②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；
∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；
1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；
cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；
∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；
∴4π＜2k2π＜6π；
∴2＜k2＜3，无解；
2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；
则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；
但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；
3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；
③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；
设其解为f（x1），f（x2），…，f（xn），（x1＜x2＜…＜xn）；
则f（x1+T），f（x2+T），…，f（xn+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；
又f（x+T）∈（4π，8π）；
而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（xn）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；
∴f（xi+T）=f（xi）+4π=f（xi）+f（T）；
∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
知识点
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