直接法求轨迹方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知是坐标系的原点，是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于,两点，弦的中点为，的重心为．

22. 求动点的轨迹方程；

23.设22题中的轨迹与轴的交点为，当直线与轴相交时，令交点为，求四边形

的面积最小时直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：焦点，显然直线的斜率存在，设，联立，消去得，，设，则，所以，所以，消去，得重心的轨迹方程为.

考查方向

本题考查了求抛物线的方程、四边形的面积公式、点到直线的距离公式、均值不等式等知识点。

解题思路

利用相关知识求抛物线方程；

易错点

对题中条件不知如何处理导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线：．

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：由已知及22题知，，

因为，所以//，(注：也可根据斜率相等得到)，，

点到直线的距离，所以四边形的面积

，

当且仅当，即时取等号，此时四边形的面积最小, 所求的直线的方程为 .

考查方向

本题考查了求抛物线的方程、四边形的面积公式、点到直线的距离公式、均值不等式等知识点。

解题思路

根据题中条件求出面积，再利用均值不等式求出面积的最值．

易错点

对题中条件不知如何处理导致出错。

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（）

A一条直线

B双曲线右支

C抛物线

D椭圆

正确答案

A

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知动点分别在轴、轴上，且满足，点在线段上，且（是不为零的常数）。设点的轨迹为曲线。

（1）求点的轨迹方程；

（2）若，点是上关于原点对称的两个动点（不在坐标轴上），点，求的面积的最大值。

正确答案

解析

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知识点

向量数乘的运算及其几何意义直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．平面坐标系中，0为坐标原点，点A（3，1），点B（-1，3），若点C满足，其中且=1，则点C的轨迹方程为（）

A2x+y=l

Bx+2y=5

Cx+y=5

Dx—y=1

正确答案

B

解析

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知识点

平面向量的基本定理及其意义平面向量的坐标运算直接法求轨迹方程

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．设椭圆上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（　　）

Ax2+y2=a2

Bx2+y2=b2

Cx2+y2=c2

Dx2+y2=e2

正确答案

A

解析

解：因为动点Q在椭圆上任意一点

过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线

垂足为P，不妨取点Q在椭圆的四个顶点处

当点Q（a．0）时，过动点Q作椭圆的切线l：x=a

过右焦点作l的垂线为：y=0，此时的交点P（a，0）

适合答案A；

当Q（0，b）时，过动点Q作椭圆的切线l：y=b

过右焦点作l的垂线为：x=c，此时的交点P（c，b）也适合答案A．

由于a＞b＞0，所以当当点Q（a．0）时，不适合x2+y2=b2故不选B；

当Q（a．0），显然不适合x2+y2=c2，故不选C；

当Q（a．0），时代入x2+y2=a2+0≠e2，故不选D．

故答案选：A．

知识点

圆的标准方程直接法求轨迹方程

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

18. 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且。

（1）求动点P所在曲线C的方程；

（2）直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；

（3）记，，（A、B、是（2）中的点），问是否存在实数，使成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

解析

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知识点

点与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.过原点的直线交圆于点Q,在直线OQ上取一点P,使点P到直线y=2的距离|PM|等于|PQ|,当直线绕原点旋转时,则点P的轨迹方程为　　　　.

正确答案

x=0或

解析

如图,设P(x,y),连接AQ,AP,因为∠AQP=90°,

所以△AQP≌△AMP,

又=2,由

即

得x=0或

故点P的轨迹方程为x=0或

知识点

直线与圆相交的性质直接法求轨迹方程

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A直线

B椭圆

C抛物线

D双曲线

正确答案

D

解析

在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,DC与A1D1是两条互相垂直的异面直线,平面ABCD过直线DC且平行于A1D1,以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设点P(x,y)在平面ABCD内,且到A1D1与DC的距离相等,则|x|=，整理得x2-y2=a2.

知识点

双曲线的定义及标准方程直接法求轨迹方程

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题型：填空题

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填空题 · 15 分

20．已知抛物线：，过焦点的直线交于两点．

（1）若线段的中点为,求点的轨迹方程；

（2）若的面积为(为坐标原点)，求证：为定值，并求出此定值．

正确答案

（1）；

（2）

解析

本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）由直线的参数表示出点，再化为直角坐标方程；

（2）根据弦长公式求出长和对应面积。

（1）法一：

设，，

得：

，

（1）当时，，，整理得：

（2）当时，适合*式

综上：的轨迹方程为

（1）法二：

设，，

，，的轨迹方程为

（2）

（定值）

考查方向

本题考查了求轨迹方程的方法、中点弦的处理方法、弦长公式及面积问题，常见求轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法及参数法。圆锥曲线常见的问题有弦长、中点、面积、角度和“定”问题——定点、定线和定值。

易错点

1、求轨迹方程方法不熟练和点差法如何处理中点弦。

2、含参运算不正确导致出错。

知识点

抛物线焦点弦的性质直接法求轨迹方程圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知点M（－1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的倍．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．C，D两点均在x轴下方．当CD的斜率为－1时，求线段AB的长．

正确答案

（1）；

（2）线段的长为．

解析

⑴解：设曲线上任意一点坐标为，

由题意，，

整理得，即，为所求。

⑵解：由题知，且两条直线均恒过点，

设曲线的圆心为，

则，线段的中点为，

则直线：,设直线：，

由，解得点，

由圆的几何性质，，而，，，解之得或，又两点均在轴下方，直线：.由

解得或不失一般性，

设，

由消得：，

⑴ 方程⑴的两根之积为1，

所以点的横坐标，

又因为点在直线上，解得，直线，

所以，

同理可得，，所以线段的长为。

考查方向

本题考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，属于高考中的高频考点．

解题思路

1、利用已知求解。

2、联立直线与圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

圆的一般方程直线与圆相交的性质直接法求轨迹方程

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