- 变换的复合与二阶矩阵的乘法
- 共172题
已知矩阵A=
正确答案
解析
解：∵矩阵A的行列式为
∴A-1=
故答案为：
已知矩阵
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；
（Ⅱ）计算A3
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，
所以
（Ⅱ）
A3
解析
解：（Ⅰ）依题意，
所以
（Ⅱ）
A3
矩阵A=
正确答案
3或4
解析
解：∵矩阵A═
∴
解得：a=3或4，
故答案为：3或4．
（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）
求矩阵
正确答案
解析
解：ad-bc=3-4=-1
A-1=
∴
已知矩阵A
正确答案
解析
解：矩阵的行列式为
∴矩阵A的逆矩阵A-1=
∴A-1B=
故答案为：
附加题选做题B、（选修4-2：矩阵与变换）
已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A（1，2）变成了点A′（7，10），点B（2，0）变成了点B′（2，4），求矩阵M的逆矩阵M-1．
正确答案
解：设
依题意有：
即
解之得
所以
解析
解：设
依题意有：
即
解之得
所以
请用逆矩阵的方法求二元一次方程组
正确答案
解：记A=
两边左乘A-1可得：X=A-1•B=
所以，原方程组的解为
解析
解：记A=
两边左乘A-1可得：X=A-1•B=
所以，原方程组的解为
已知矩阵M=
（1）求M的逆矩阵M-1；
（2）求直线l：x=1经M对应的变换TM变换后的直线l′的方程；
（3）判断
正确答案
解：（1）|M|=
∴M-1=
（2）设
∴x=-
∵直线l：x=1经M对应的变换TM变换后的直线l′的方程，
∴-
（3）∵
∴
解析
解：（1）|M|=
∴M-1=
（2）设
∴x=-
∵直线l：x=1经M对应的变换TM变换后的直线l′的方程，
∴-
（3）∵
∴
给定矩阵M=
（1）证明M和N互为逆矩阵；
（2）证明e1和e2都是M的特征向量．
正确答案
解：（1）因为MN=
所以M和N互为逆矩阵．（4分）
（2）向量e1=
向量e2=
所以e1和e2是M的特征向量．（10分）
解析
解：（1）因为MN=
所以M和N互为逆矩阵．（4分）
（2）向量e1=
向量e2=
所以e1和e2是M的特征向量．（10分）
选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
正确答案
解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
解得
A的逆矩阵是
解析
解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
解得
A的逆矩阵是
选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵
正确答案
解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P‘（x'，y'），
由
因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）
依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1，
而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）
故
故矩阵M的逆矩阵M-1=
解析
解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P‘（x'，y'），
由
因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）
依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1，
而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）
故
故矩阵M的逆矩阵M-1=
已知二阶矩阵M满足：M
正确答案
解析
解：设M=
∵M
∴
∴b=1，d=1，a=0，c=-1，
∴M=
∴M的行列式为
∴M-1=
故答案为：
已知矩阵A的逆矩阵
正确答案
解：因为A-1A=E，所以A=（A-1）-1．
因为|A-1|=-
于是矩阵A的特征多项式为f（λ）=
令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=-1，λ2=4．…（10分）
解析
解：因为A-1A=E，所以A=（A-1）-1．
因为|A-1|=-
于是矩阵A的特征多项式为f（λ）=
令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=-1，λ2=4．…（10分）
已知矩阵A=
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A-1；
（Ⅱ）求直线x+y-1=0在矩阵A-1对应的变换作用下得到的直线方程．
正确答案
解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值2的一个特征向量为
∴
∴b=2，c=-1，
∴A=
∴A-1=
（Ⅱ）设点（x，y）是直线x+y-1=0上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则
∴
∴
∴x′+2y′-x′+4y′-1=0，
∴6y′-1=0，
即6y-1=0．
解析
解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值2的一个特征向量为
∴
∴b=2，c=-1，
∴A=
∴A-1=
（Ⅱ）设点（x，y）是直线x+y-1=0上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则
∴
∴
∴x′+2y′-x′+4y′-1=0，
∴6y′-1=0，
即6y-1=0．
本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵A-1．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲，设函数f（x）=|x-1|+|x-a|；
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范围．
正确答案
（1）解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
∴
同理
由①②联立，解得，c=2，d=4；∴
（Ⅱ）∵
∴
（2）（Ⅰ）∵
∴ρsinθ+ρcosθ=1．----------------（2分）
所以，该直线的直角坐标方程为：x+y-1=0．----------------（3分）
（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4----------------（4分）
圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离
所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为
（3）（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|．
由f（x）≥3，得，|x-1|+|x+1|≥3．
①当x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3，即
②当-1＜x＜1时，不等式化为1-x+1+x≥3，即2≥3．所以，原不等式无解．…（2分）
③当x≥1时，不等式化为-1+x+1+x≥3，即
综上，原不等式的解为
（Ⅱ）因为关于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）min≤2．…（5分）
因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和，
所以，f（x）min=|a-1|．…（6分）
∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．
所以，a的取值范围为[-1，3]．…（7分）
解析
（1）解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
∴
同理
由①②联立，解得，c=2，d=4；∴
（Ⅱ）∵
∴
（2）（Ⅰ）∵
∴ρsinθ+ρcosθ=1．----------------（2分）
所以，该直线的直角坐标方程为：x+y-1=0．----------------（3分）
（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4----------------（4分）
圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离
所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为
（3）（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|．
由f（x）≥3，得，|x-1|+|x+1|≥3．
①当x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3，即
②当-1＜x＜1时，不等式化为1-x+1+x≥3，即2≥3．所以，原不等式无解．…（2分）
③当x≥1时，不等式化为-1+x+1+x≥3，即
综上，原不等式的解为
（Ⅱ）因为关于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）min≤2．…（5分）
因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和，
所以，f（x）min=|a-1|．…（6分）
∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．
所以，a的取值范围为[-1，3]．…（7分）
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