热门试卷

解：设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线x2+2y2=1上与P对应的点，

=，得

∴（5分）

∵P′是曲线C1上的点，

∴C2的方程（x-2y）2+2y2=1．（10分）

（1）证明：连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP．

因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．（5分）

因为OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，

所以∠OBT=∠TBA，

即BT平分∠OBA．（10分）

（2）解：由题意知，，即，

所以，解得

所以．（5分）

由，解得．（10分）

另解：矩阵M的行列式，所以．

（3）解：圆方程为（x+1）2+y2=4，圆心（-1，0），直线方程为x+y-7=0，（5分）

圆心到直线的距离，所以（AB）min=．  （10分）

（4）证明：因为a1是正数，所以2a1=1+1+a1≥3，（5分）

同理，2aj≥1+1+aj≥3，

将上述不等式两边相乘，得，

因为a1•a2•…•an=1，所以．（10分）

解：|A|=ad-bc=6-4=2

∴A-1==

解：设P（x′，y′）是曲线2x2-2xy+1=0上任意一点，

点P在矩阵M-1对应的变换下变为点P′（x，y），

则有= =，

解得x′=x，，

代入2x′2-2x′y′+1=0，可得xy=1，

所以曲线2x2-2xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为：xy=1．

A、证明：因为CP与圆O相切，所以∠DPA=∠PBA．…2分           

因为AB为圆O直径，所以∠APB=90°，

所以∠BAP=90°-∠PBA．…6分                           

因为AD⊥CP，所以∠DAP=90°-∠DPA，

所以∠DAP=∠BAP．  …10分 

B．选修4-2：矩阵与变换

解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2=1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）

则==，所以． …2分

因为点P′（x′，y′）在椭圆E：=1上，

所以，这个方程即为圆C方程． …6分

所以，因为a＞0，b＞0，所以a=2，b=．       …8分

（2）由（1）得A=，所以，所以A-1=．  …10分

C．选修4-4：坐标系与参数方程

解：因为圆C的直角坐标方程为（x-2） 2+y2=4，直线l的直角坐标方程为x-y+2a=0． …4分

所以圆心C到直线l的距离d==|1+a|． …6分

因为圆C被直线l截得的弦长为2，所以r2-d2=3．

即4-（1+a）2=3．解得a=0，或a=-2． …10分

D．选修4-5：不等式选讲

证明：因为a，b是正数，所以a2+4b2≥4ab． …2分

所以a2+4b2+≥4ab+≥2=4．

即a2+4b2+≥4．   …10分

解：（Ⅰ）依题意T=，所以=4，

所以T-1=．----------（3分）

（Ⅱ）由T=，得=T-1==．----------（7分）

解：（1）∵矩阵A=，

∴矩阵A对应的行列式=1×3-2×4=-5≠0，

∴矩阵A可逆，

∴A-1=，

∴A-1=．

（2）A的特征多项式：

f（λ）=

=（λ-1）（λ-3）-8

=λ2-4λ-5，

令f（λ）=0，得：

λ=5或λ=-1； 

当λ=5时，

由得特征向量，

当λ=-1时，

由得特征向量．

解：由题意得=，

∴，

∴M-1=．

解：（1）把曲线y=sinx变为曲线y=sin2x，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，

所以A=；

（2）AB==，

行列式为=2，

所以AB的逆矩阵为．

解：（1）．（5分）

（2）任意选取椭圆上的一点P（x0，y0），它在矩阵

对应的变换下变为P‘（x0′，y0′），则有，故．

又因为点P在椭圆上，所以，即有，

因此x0'2+y0'2=1．

从而椭圆在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1．（10分）