不等式的性质
共451题

· 不等式的性质

不等式的性质
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题型：填空题

填空题 · 5 分

若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则的值

正确答案

解析

略

知识点

不等式的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是（）

正确答案

解析

设，则方程的两实根满足的

充要条件是，作出点满足的可行域为Δ的内部，其中点、、，的几何意义是Δ内部任一点与原点连线的斜率，而，，作图，易知.

知识点

不等式的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点。

（1）求常数的值；

（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对于任意的正整数，不等式恒成立。

正确答案

见解析

解析

（1）对求导得：，根据条件知，所以

（2）由（1）得，

① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；

②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；

③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减

即而且仅有.

综上可知，所求实数的取值范围是.

(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形

对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有.

取，得：对于任意正整数都有成立；

对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有.

取，得：对于任意正整数都有成立。

因此对于任意正整数，不等式恒成立

知识点

不等式的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

关于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是　　。

正确答案

解析

不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0，

则a（x2+3）≥|x+1|，

即a≥，

设t=x+1，则x=t﹣1，

则不等式a≥等价为a≥==＞0

即a＞0，

设f（t）=，

当|t|=0，即x=﹣1时，不等式等价为a+3a=4a≥0，此时满足条件，

当t＞0，f（t）==，当且仅当t=，

即t=2，即x=1时取等号。

当t＜0，f（t）==≤，

当且仅当﹣t=﹣，

∴t=﹣2，即x=﹣3时取等号。

∴当x=1，即t=2时，fmax（t）==，

∴要使a≥恒成立，则a，

故答案为：[，+∞）

知识点

不等式的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知，则的值为_______。

正确答案

答案：

解析

当时, ,故

知识点

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