热门试卷

（1）设从2014年开始经过n年，方案乙的累计总收益为正数。

在方案乙中，前4年的总收入为 ，

 故n必定不小于4，则由 ，    

解得 ,故n的最小值为5

答: 从2014开始至少经过5年，方案乙能收回投资。

（2）设从2014年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1,y2万元，

则

当n≤4时，则y1>0,y2<0,可得y1>y2.

当n>5时，

令y1<y2,可得，即 

由可得n的最小值为7.

答：到2020年，方案乙的累计总收益超过方案甲。

（1）证明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，

 alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a)

那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b)，当a∈(0，)时f ′ (a)<0，当a∈(，1)时f ′ (a)>0，

 f(a)在(0，]上递减，在[，1) 上递增；

 f(a)≥f()=(1-b) log3+ blog3b，记g(b)= (1-b) log3+ blog3b

得：g′(b)= log3b-log3，当b∈(0，)时g′(b) <0，当b∈(，1)时，g′(b) >0，

 g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增； g(b)≥g()=-1。

alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。

（2）证明：n=1时，++=1，>0(i=1,2,3)，由（1）知

++≥-1成立，即n=1时，结论成立。

设n=k时结论成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k)时

+++…+≥-k.

那么，n=k+1时,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k+1)时，

令+…+=t，则++…+=1，由归纳假设：

++…+≥-k

 +++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t)。

+++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)①

设+…+=s，则+…+=t-s，++…+=1，

由归纳假设：++…+≥-k.

++…+≥-k(t-s)+ (t-s)(t-s)②

+…+=s，++…+=1；由归纳假设同理可得：

++…+ ≥-ks+ ss ③

将①②③两边分别相加得：

++…++…++…+≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss

而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。

-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。

++…++…+≥-(k+1)。

n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。