等差数列的判断与证明
共87题

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等差数列的判断与证明
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题型：简答题

简答题 · 8 分

已知函数f（x）=2sinxcos+2cos2x-1

（1）求函数的最小正周期和最大值，

（2）用“五点法”画出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。

正确答案

见解析

解析

函数

2分

所以，最小正周期， 4分

（作图略，列表作图各2分）

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列{}的前n项和，数列{}满足，且。

（1）求，；

（2）设为数列{}的前n项和，求。

正确答案

见解析。

解析

知识点

等差数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

等差数列公差为2，若成等比数列，则等于

A-4

B-6

C-8

D-10

正确答案

解析

略

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的各项都是正数，且对任意都有，其中为数列的前项和.（1）求；（2）求数列的通项公式；

（3）设，对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）令，则，即，所以或或

又因为数列的各项都是正数，所以

令，则，即，解得或或

又因为数列的各项都是正数，所以

（2）

由得，化简得到

由得

化简得到，即

当，所以

所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，

（3），因为对任意的，都有恒成立，

即有，化简得

当为奇数时，恒成立，，即

当为偶数时，恒成立，，即

知识点

等差数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知数列｛｝满足：，定义使为整数的数叫做幸运数，则内所有的幸运数的和为。

正确答案

2026

解析

，要是其为整数，则,故，故其和为。

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

设等差数列的前项和为，且，。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的值；

（3）设数列的前项和为，求的值。[:]

正确答案

见解析。

解析

(1)设等差数列的公差为，

∵,

∴

数列的通项公式

（2）方法一：∵

解得或（舍去）

方法二：∵

解得或（舍去）（3）∵，∴

∴

知识点

等差数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知是首项为，公差为1的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

略

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知数列的前n项和为，且，则等于

A-10

C10

D14

正确答案

解析

略

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列的前项和。

⑴求数列的通项公式；

⑵是否存在正整数、（且）使、、成等比数列？若存在，求出所有这样的等比数列；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)

时，

……4分，所以

(2)假设存在正整数、（且）使、、成等比数列

则……8分，由⑴得

即……10分，因为、是整数，所以即不可能成立，假设错误

所以，不存在正整数、（且）使、、成等比数列

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，有。

（1）判断集合是否具有性质；

（2）求证：；

（3）求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）由于，，，

，，，

所以集合具有性质。

（2）证明：依题意有，又，

因此。

可得。

所以。

即。

（3）证明：由（2）可得。

又，可得，因此。

同理，

可知。

又，可得，

所以均成立。

当时，取，则，可知。

又当时，。

所以。

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