等差数列的判断与证明
共87题

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等差数列的判断与证明
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题型：简答题

简答题 · 12 分

设等比数列的前n项和为成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对任意成等差数列.

正确答案

见解析。

解析

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n个阴影部分图形.容易知道第1个阴影部分图形的周长为8.设前n个阴影部分图形的周长的平均值为，记数列满足.

（1）求的表达式；

（2）写出的值，并求数列的通项公式；

（3）记，若不等式有解，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）第n个阴影部分图形的周长为8n, （2分）

故，（4分）

（2），，

当n为奇数时，（3分）

当n为偶数时，

故，（5分）

（3）

有解有解，

当n为奇数时，即

，

亦即有解，故（3分）

当n为偶数时，

即，

于是，故，（5分）

综上所述：，（7分）

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知各项都不为零的数列的前项和为，且，

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

正确答案

见解析。

解析

（1）∵ ① ∴ ②

①②得

∵，∴ 数列的奇数项组成首项为，公差为2的等差数列，偶数项组成首项为公差为2的等差数列

∵∴

∴

∴数列的通项公式为；

（2）证明：当时，

当时，；当时，；

∴

知识点

等差数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 4 分

设数列（）是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前项的和______________。

正确答案

2013

解析

略

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 13 分

设数列的首项，前项和为，且对任意都有，数列中的部分项N*）成等比数列，且

（1）求数列与的通项公式;

（2）令，并用x代替n得函数，设的定义域为R ,记,求.

正确答案

见解析

解析

（1）由代入已知得

即于是有

又=

所以数列的通项公式为 …….3分

由知，数列是首项为1，公比为4的等比数列，

而为等差数列中的第项，是等比数列中的第项，所以有

即 …….5分

（2）解由已知，则

…….8分

①

②

①+②得即 …….10分

（

…….13分

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