指数与指数函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生从下面三道大题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

（1）如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（请回答27、28题）

（2）在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线（请回答29、30题）

（3）设均为正数,且.证明：（请回答31、32题）

27.证明；

28.若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EBCF的面积.

29.求与交点的直角坐标；

30.若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.

31.若 ,则；

32.是的充要条件.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

28.若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EBCF的面积.

．

解析

试题分析：通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论.

由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．

考查方向

本题考查空间中线与线之间的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．

解题思路

平面几何中平行关系的证明往往有三种方法：①由垂直关系得出；②由角的关系得出；③由平行关系的传递性得出.

易错点

边角关系的准确把握

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

和．

解析

试题分析：由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把，转化为直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．

曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．

考查方向

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标．

易错点

参数方程及极坐标方程转化普通方程

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

试题分析：由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用，即可得出．

曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．

考查方向

本题考查了两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区．

易错点

三角函数公式的灵活运用

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

因为，，由题设，，得．因此．

解析

试题分析：运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证．

因为，，由题设，，得．因此．

考查方向

本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，属于基础题．

解题思路

要证明，只需证明，展开结合已知条件易证．

易错点

不等式性质的正确应用.

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

从两方面证，①若，证得|a-b|＜|c-d|，②若|a-b|＜|c-d|，证得，注意运用不等式的性质，即可得证．（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．

解析

详见答案.

考查方向

本题考查充要条件的判断，属于基础题．

解题思路

充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明．证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系．

易错点

充要条件的证明一定要分两步进行，及必要性与充分性的证明.

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

1．集合（）

A

B

C

D都不对

正确答案

C

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

交、并、补集的混合运算指数函数的定义、解析式、定义域和值域对数函数的定义域

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．已知函数上的最大值与最小值之和为20，记。

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

指数函数的定义、解析式、定义域和值域倒序相加法求和数列与函数的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

设函数

26.求曲线在点处的切线方程；

27.设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

28.求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由，得．

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为．

考查方向

导数的几何意义，单调性，极值的综合应用

解题思路

（1）利用导数的几何意义计算（2）利用极值与单调性计算

易错点

有三个零点时一定要检验

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，，

所以．

令，得，解得或．

与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，

，使得．

由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．

考查方向

导数的几何意义，单调性，极值的综合应用

解题思路

（1）利用导数的几何意义计算（2）利用极值与单调性计算

易错点

有三个零点时一定要检验

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，，，

此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．

当时，只有一个零点，记作．

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递增．

所以不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．

故是有三个不同零点的必要条件．

当，时，，只有两个不同零点

所以不是有三个不同零点的充分条件．

因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．

考查方向

导数的几何意义，单调性，极值的综合应用

解题思路

（1）利用导数的几何意义计算（2）利用极值与单调性计算

易错点

有三个零点时一定要检验

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为__________。

正确答案

16

解析

由题意知，各城市相互到达，且费用最少为1＋2＋2＋3＋3＋5＝16＝FG＋GD＋AE＋EF＋GC＋BC

知识点

指数函数的图像与性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数若有则的取值范围为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题可知，，若有则，即，解得。

知识点

指数函数的图像与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

在同一直角坐标系中，函数（），的图象可能是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

对A，没有幂函数的图象，；对B,中，中，不符合题题；对C，中，中，不符合题题；对D，中，中，符合题题；故选D. 点评：本题考查幂函数与对数函数的图象判断，容易题

知识点

指数函数的图像与性质对数函数的图像与性质反函数函数图象的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么，称函数是函数的一个变换.

（1）判断函数是不是，的一个变换？说明你的理由；

（2）设的值域，已知是的一个变换，且函数的定义域为，求实数的值；

（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个变换的充分非必要条件（不必证明）。

正确答案

见解析

解析

（1）函数的值域为，

，

所以，不是的一个变换；

（2）的值域为，由知，

即定义域为，

因为是的一个变换，且函数的定义域为，

所以，的值域为，

，

所以，恒有，且存在使两个等号分别成立，

于是，解得或

（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，则是的一个变换的充分非必要条件是“=”。

条件的不必要性的一个例子是。

，，，，

此时，但的值域仍为，

即是的一个等值域变换。（反例不唯一）

知识点

指数函数的图像与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

略

知识点

指数函数的图像与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若，则的大小顺序是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

略。

知识点

指数函数的图像与性质对数值大小的比较不等式的基本性质比较法

热门试卷

正确答案

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

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知识点

正确答案

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知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点