热门试卷

（1）直线L:=1,∴=.①      ，，，，，，，，，，，，，，，，，，2分

e=.②   ，，，，，，，，，，，，，，，，，，4分

由①得，3

由②3得     ∴所求椭圆的方程是+y2=1. ，，，，，，，，，，，，，，，，，，6分

（2）联立得：.

Δ  ，，，，，，，，，，，，8分

设，则有

，，，，，，，，，，，，，，，，，，10分

∵，且以CD为圆心的圆点过点E，

∴EC⊥ED.                                       ，，，，，，，，，，，，，，，，，，12分

则

∴，解得=＞1,

∴当=时以CD为直径的圆过定点E.                ，，，，，，，，，，，，，，，，，。14分

（1）由题意知，，，

所以，，所以椭圆的方程为，   

易得圆心，，所以圆的方程为，

（2）证明：设直线的方程为，

与直线的方程联立，解得点，

联立，消去并整理得，，解得点，

（i）

，当且仅当时，取“=”，

所以的最大值为。                    

（ii）直线的方程为，

与直线的方程联立，解得点，   

所以、两点的横坐标之和为。

故、两点的横坐标之和为定值，该定值为。

（1）依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，。    2分

如图，设，其中，

且满足方程，

故，①

由知，得；

由在上知，得，所以，

化简得，解得或。····· 6分

（2）根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

。 9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号，所以的最大值为。 12分

（1）∵椭圆的右顶点为A（2，0），∴a=2，

∵点P（2e，）在椭圆上，

∴，

∵a2=4，，a2=b2+c2，

∴b2=1，c2=3，

∴椭圆的方程为。

（2）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，

代入椭圆方程，即x2+4y2=4，

得（1+4k2）x2=4，∴，

∴C（，），

又直线AB方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程x2+4y2=4，

得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，

∵xA=2，∴xB=，

∵=0，

∴+=0，

∴，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=，

∵=（），

=（2﹣，0﹣）=（，），

由=，得，

∴k=，∴。

（1）由题意得  又，解得，。

因此所求椭圆的标准方程为。

（2）①设，，则由题设知：，。

即 解得

因为点在椭圆C2上，所以，

即，亦即。

所以点M的轨迹方程为。

②（方法1）设，则，

因为点A在椭圆C2上，所以，即 （i）

又  （ii）

（i）+（ii）得，

所以.

当且仅当（即）时，.

（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)。

解方程组 得，，

所以，.

又 解得，，所以。

（解法1）由于

，

当且仅当时等号成立，即k＝±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝。

当k＝0，S△AMB；

当k不存在时，S△AMB。

综上所述，△AMB面积的最小值为。

（解法2）因为，

又，于是，

当且仅当时等号成立，即k＝±1时等号成立，（后同方法1）

（1）设，则，解得，

所以椭圆的方程为，

则直线的方程为，令，可得，

联立，得，所以，， 

所以。

（2）设，，则直线的方程为，

令，可得，

由可知，，整理得，

又，

联立，解得，

所以点在定直线上，

（1）由题意得：得，半焦距，，，。2分

则椭圆的方程为 ，，，，，，，，。4分

“伴随圆”的方程为，，，，，，，，。6分

（2）设过点，且与椭圆有一个交点的直线为，

则　　整理得，，，，，，，，。2分

所以，解 ①，，，，，，，。4分

又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，

则有   化简得   ②  ，，，。6分

联立①②解得，，所以……8分

（1）①当直线的斜率不存在时，由可知方程为

代入椭圆得又

∴，       ------------------------------2分

②当直线的斜率存在时，设方程为

代入椭圆得--------------------------4分

----------------------------5分

∴

                  ----------------------------------------9分

           ---------------------------------------10分

（2）AP的方程为

        --------------------------------------11分

    ------------------------------------12分

 ----------------------------------13分

∴         -----------------------14分

（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线                  …………………………2分

同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：，得椭圆。                                   …………………………4分

（2）设直线的方程为，则。

联立方程组，消去得：

且                  …………………………5分

由得：

整理得：

。       …………………………8分

（3）设，则

由得；①  ；②

；③                             ……………………11分

由①+②+③得

∴满足椭圆的方程，命题得证。   ……………14分

（1）依题意可得解得

从而所求椭圆方程为…………………4分

（2）直线的方程为

由可得

该方程的判别式△=＞0恒成立.

设则………………5分

可得

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为………………6分

线段PQ的垂直平分线方程为

令，由题意………………………………………………7分

又，所以0＜＜…………………………………………………8分

（3）点M到直线的距离

于是

由可得代入上式，得

即＜＜.…………………………………………11分

设则

而＞00＜m＜＜0＜m＜

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，有最大值……………………13分

所以当时，△MPQ的面积S有最大值…………………14分

（1） 由题意，椭圆的右顶点坐标为，所以，…………………2分

点代入椭圆，得，即.…………………………4分

所以椭圆的方程为。 ………………………………………………………5分

（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，……………………6分

，消去并整理得，(*)………………7分

设，

由(*)式得……………8分

.………………………………9分

代入并整理得………………………10分

可得

经验证满足，………………………………12分

∴ 。………………………………………………………………………………13分

（1）依题意可设椭圆的方程为，

离心率，

又抛物线的焦点为，

所以，

椭圆的方程是.        （5分）

（2）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，则以为直径的圆是.

由解得

即两圆相切于点.

因此所求的点如果存在，只能是.          （7分）

事实上，点就是所求的点.证明如下：

当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点.

当直线不垂直于轴时，可设直线.

由消去得.

设，则

（10分）

又因为，

,即以为直径的圆恒过点.

故在坐标平面上存在一个定点满足条件.         （14分）

（1）由椭圆的离心率e=，可得a2=9b2，故椭圆方程为

又椭圆过点M（3，），则，解得b2=4，

所以椭圆的方程为

（2）①记△MAF2的外接圆的圆心为T。

因为，所以MA的中垂线方程为y=﹣3x，

又由M（3，），F2（，0），得MF1的中点为，

而=﹣1，

所以MF2的中垂线方程为，

由，得T（） 

所以圆T的半径为=，

故△MAF2的外接圆的方程为

（3）设直线MA的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），（x2＞x1）

由题直线MA与MB的斜率互为相反数，

∴直线MB的斜率为﹣k。

联立直线MA与椭圆方程，可得（9k2+1）x2+x+162k2﹣108k﹣18=0

∴x1+x2=﹣，

又

∴==为定值

（1）设,的坐标分别为,其中

由题意得的方程为:

因到直线的距离为,所以有,解得…………………1分

所以有……………………①

由题意知: ,即……②

联立①②解得:

所求椭圆的方程为           …………………………………………4分

（2）由（1）知:, 设

根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为

把它代入椭圆的方程,消去,整理得:

由韦达定理得,则,，

，线段的中点坐标为………………6分

(ⅰ)当时, 则有,线段垂直平分线为轴

于是

由,解得:   ……………………………………………8分

当时, 则线段垂直平分线的方程为

因为点是线段垂直平分线的一点,

令,得:，于是

由,解得:

代入,解得:

综上, 满足条件的实数的值为或      ………………………10分

(ⅱ)设，由题意知的斜率,直线的斜率为，则

由　化简得：。

∵此方程有一根为， 得，…………………………12分

,  则

所以的直线方程为

令，则。

所以直线过轴上的一定点…………………………………………………14分