圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是．

正确答案

；

解析

由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，

由可得，，，

则，由可得，则．

考查方向

椭圆离心率

解题思路

设出各点坐标，根据向量数量积，列出方程，得到关于a，c的方程，求出e。

易错点

设点求解时正确建立方程关系。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II) 当2时，证明：.

正确答案

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．

已知椭圆（a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

正确答案

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

19.已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.

（I）求椭圆C的方程及离心率；

（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

正确答案

知识点

椭圆的几何性质

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

正确答案

(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .

解析

试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b即得.

(Ⅱ)(i)设，

由M(0,m)，可得

得到直线PM的斜率，直线QM的斜率.证得.

(ii)设，

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立，

整理得.

应用一元二次方程根与系数的关系得到，

，

得到

应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，

由题意知，

所以，

所以椭圆C的方程为.

(Ⅱ)(i)设，

由M(0,m)，可得

所以直线PM的斜率，

直线QM的斜率.

此时，

所以为定值-3.

(ii)设，

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立，

整理得.

由可得，

所以，

同理.

所以，

，

所以

由，可知k>0，

所以，等号当且仅当时取得.

此时，即，符号题意.

所以直线AB 的斜率的最小值为 .

考查方向

椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系；基本不等式.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 12 分

已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II) 当2时，证明：.

正确答案

（Ⅰ）设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，

又，因此直线的方程为.

将代入得，

解得或，所以.

因此的面积.

（2）将直线的方程代入得

.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，，

所以在单调递增，又，

因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 13 分

已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

正确答案

（I）由已知，a=2b.

又椭圆过点，故，解得.

所以椭圆E的方程是.

（II）设直线l的方程为，，

由方程组得，①

方程①的判别式为，由，即，解得.

由①得.

所以M点坐标为，直线OM方程为，

由方程组得.

所以.

又

.

所以.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率（）

A

B

C

D

正确答案

B

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意设直线的方程为，分别令与得点，

，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A．

考查方向

本题主要考查了椭圆方程与几何性质等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由题意设直线的方程为，分别令与得点，由，得

易错点

对椭圆方程与几何性质理解出现错误、计算错误

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

B

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意可知，故易得c的方程为，所以选D答案。

考查方向

椭圆的简单几何性质。

解题思路

根据已知条件构造方程组解答。

易错点

计算错误。

知识点

椭圆的几何性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.

（II）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

正确答案

（1）e＝＝；（2）2。

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的位置关系，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）根据已知构造方程组来求解；

（2）先表示出来后利用基本不等式来计算最值。

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：

（1）根据已知构造方程组来求解；

（2）先表示出来后利用基本不等式来计算最值。

易错点

计算容易出错。

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．椭圆的左焦点F在x轴上，直线x＝m与椭圆相交于点A，B．若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是___________．

正确答案

；

解析

由题意可以得4a=12，所以a=3，c=2，所以该椭圆的离心率是。

考查方向

椭圆的性质。

解题思路

根据焦点在x轴，所以a>,然后根据经过左焦点时三角形周长最大所以可以算出a的值，进一步可以计算出离心率。

易错点

什么时候取到周长的最大值不清楚。

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为且点在上．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点，求直线的方程和线段AB的长．

正确答案

（1）；（2）当直线为时，|AB|=；

当直线为时， |AB|=；

解析

（Ⅰ）由题意得：，------------------------------3分

故椭圆的方程为：---------------------------------------------------4分

（Ⅱ）依题意可知直线存在斜率，设直线

由----------------①------------------5分

直线与椭圆相切②-----6分

由-----------------------③----------------------7分

直线与抛物线相切④-----8分

由②、④消去k得：，解得或，-------------------------9分

由②知，故不合舍去，由得---------------------------10分

直线的方程为

当直线为时，由①易得由③易得，此时|AB|=；

当直线为时，由图形的对称性可得|AB|=．

综上得直线的方程为或，线段|AB|=.----------------12分

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

第（1）问直接根据题中条件列方程组求解即可；第（2）问先设直线l的方程，然后分别将l的方程与圆和椭圆的方程联立消元得到判别式等于0得到关于m和k的方程组求解即可。

易错点

在第（2）问中联立消元时运算求解出错；不会转化题中给出的条件直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.若椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实数根分别是，则点到直线的距离为（）

A1

B2

C3

D4

正确答案

A

解析

因为，得a=3c，所以，则方程为，所以，则点到直线的距离为

，所以选A.

考查方向

本题主要考查了圆锥曲线的问题。

解题思路

用设而不求的方法来做。

易错点

不会用设而不求的方法来做。

知识点

点到直线的距离公式椭圆的几何性质

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正确答案

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解题思路

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点