圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

∵过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若，∴△为等腰三角形，锐角，即，，解得，又，所以选项C为正确选项

考查方向

本题主要考查了双曲线几何性质,属于中档题，是高考的热点

解题思路

过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若可知△为等腰三

角形，锐角为即可，由此可知，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

易错点

本题不会通过，找出不等关系求出e的取值范围

知识点

平面向量数量积的运算双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）.当△APF周长最小是，该三角形的面积为( )

正确答案

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：的离心率为，右顶点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)在轴上是否存在定点，使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

（1）；（2）存在定点(1,0)。

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的位置关系的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接根据已知条件构造方程即可解出；（2）设而不求的方法得到一个等式后可以解出m的值。

(1)由得，所以椭圆的方程为

(2)设,直线l的方程设为,与椭圆的方程联立得:

所以

从而,整理得:

解得: (舍去)或

故在轴上是否存在定点(1,0), 使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且恒成立.

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）直接根据已知条件构造方程即可解出；（2）设而不求的方法得到一个等式后可以解出m的值。

易错点

第2问不会用设而不求的方法来解答。

知识点

双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．已知定点的坐标为，点是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为．

正确答案

9

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义和数形结合思想,属于比较灵活的题，常考的题型有求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

解题思路

本题主要考查了双曲线的定义和数形结合思想，解题步骤如下：

易错点

本题难在定义的应用和几何关系的寻找。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲

线的左右两支分别交于两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率

为．

正确答案

解析

试题分析：依题意做出图像，如下图所示，根据双曲线的定义得，解得，在中，由余弦定理得，所以，故此题答案为。

考查方向

本题主要考双曲线的定义、几何性质、余弦定理等知识点．

解题思路

直接利用双曲线的定义及几何性质进行运算。

易错点

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．直角三角形ABC中，A＝90°，B＝60°，B，C为双曲线E的两个焦点，点A在双曲线E上，则该双曲线的离心率为

A

B

C

D D.

正确答案

A

解析

由题意知两个焦点之间的距离为2c，因为A＝90°，B＝60°，所以AB=c,AC=，由双曲线的定义可得，故该双曲线的离心率为。

考查方向

双曲线的离心率。

解题思路

利用已知条件再结合双曲线的定义得到a，b，c的一个方程，再求出离心率。

易错点

不能想出利用双曲线的定义来解答。

知识点

双曲线的几何性质双曲线的相关应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点P，切点为T，的中点为M，则_____________．

正确答案

解析

连接,由双曲线的定义可知，而,又,所以。

考查方向

双曲线的定义及其计算。

解题思路

本题考查双曲线的定义与圆的切线性质最后利用转化思想来求解。

易错点

要求解的问题不会转化。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A4

B

C3

D5

正确答案

B

解析

抛物线的焦点为（3，0），所以c=3，而a=2，则，一条渐近线方程为，用点到直线的距离公式可以求得。

考查方向

圆锥曲线的性质。

解题思路

由抛物线的方程求出焦点然后进一步求出双曲线中的未知数b，然后利用点到直线的距离公式即可解出。

易错点

焦点求错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

双曲线的两条渐近线为即，圆的圆心为（-3,0），半径为2，由题意得到：c=3,且，所以双曲线的方程为，故选A。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和数形结合的能力。

解题思路

将双曲线的渐近线、圆的圆心和半径都表示出来；根据题意列式求解即可。

易错点

题中给出的渐近线方程求错；不会转化题中与圆相切的条件导致运算麻烦。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 6 分

10．双曲线的实轴长等于，其渐近线与圆相切，则 .

正确答案

6，

解析

试题分析：依题意可知双曲线的标准方程为，故实轴长为6，渐近线方程为，圆的标准方程为，由渐近线与圆相切可得，可解得，故此题答案为6，。

考查方向

本题主要考双曲线的定义、几何性质等知识点．

解题思路

化双曲线方程为标准方程，直接求出实轴长及渐近线方程，利用直线与圆相切即可求出实数m的值。

易错点

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径作

圆交双曲线的渐近线于两点，（异于原点），若，则双曲线的离

心率为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意作图

考查方向

本题考察了双曲线的几何性质，考察了圆的几何性质，考察了向量的平行四边形法则，考察了数量积运算，属于中档题

解题思路

1、根据题意画出简图

2、找到向量的性质直接得出a，b的关系

易错点

主要易错于圆的性质的判断，以及向量的几何意义的判断

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．经过点（2，1），且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设渐近线方程为则根据题意得圆心

∴渐近线为

∴设双曲线方程为

考查方向

本题主要考察了双曲线的定义和方程，考察了双曲线的几何意义，考察了直线和圆的位置关系，难度系数不高，

解题思路

1）设渐近线方程（无法确定焦点位置）利用直线和圆的位置关系求渐近线

2）利用渐近线写出含参双曲线方程，带入坐标直接得出结果

易错点

本题易在双曲线焦点的判断

知识点

双曲线的几何性质双曲线的相关应用直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为点在抛物线上，，所以设满足,得到,所以在双曲线上,可得,,所以双曲线的标准方程为,所以双曲线的渐近线方程为,所以选B

考查方向

圆锥曲线的定义、性质与方程

解题思路

根据题意先求出点P的坐标，代入上曲线方程，求出m的值，从而得到双曲线的渐近线方程

易错点

计算能力弱；分类讨论不全面

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 双曲线的左，右焦点分别为，记，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则点的横坐标为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

如下图所示，根据双曲线的定义，满足,可解得，在直角三角形中由勾股定理可以解得，由题意易知三角形，所以则点的横坐标为。

考查方向

双曲线的几何性质。

解题思路

根据已知条件画出图像再找到关系之后可以解出。

易错点

不会将已知条件转化为所学的知识来解答。

知识点

双曲线的几何性质双曲线的相关应用圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）

A2

B4

C

D

正确答案

C

解析

由不妨令，设，由椭圆的定义得，由得，所以，所以双曲线的离心率为，故选C选项。

考查方向

本题主要考查双曲线的定义、几何性质等知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据题中给出的条件求出2.利用勾股定理求出2c的值，后利用离心率的公式求解即可。

易错点

1.不会利用椭圆的定义这一隐含条件解决问题；

2.不能从题中给出的条件发现垂直关系。

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

热门试卷

正确答案

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