古典概型的概率_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 12 分

19.(1)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表(单位•人)

(1)能否据此判断有97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5 — 7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6 - 8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率,

(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X).

正确答案

（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（2）；

（3）

解析

（1）由表中数据得K2的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）

设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，

∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；

（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，∴X可能取值为0，1，2，，，X的分布列为：

∴．

考查方向

本题考查了独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．

解题思路

（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；

（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；

（3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．

易错点

1、第一问中独立性检验知识不熟，公式不会应用；

2、第二问中几何概型转化成面积比

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差分层抽样方法

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）2

解析

（I）依题意，

，．

由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：

．

（Ⅱ）记水电站年总利润为（单位：万元），

由于水库年入流量总大于40,所以至少安装1台．

①安装1台发电机的情形：

由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，

对应的年利润，．

②安装2台发电机的情形：

当时，一台发电机运行，此时，

因此．

当时，两台发电机运行，此时，

因此．

所以的分布列如下：

所以．

③安装3台发电机的情形：

当时，一台发电机运行，此时，

因此．

当时，两台发电机运行，此时，

此时．

当时，三台发电机运行，此时，

因此．

所以的分布列如下：

所以．

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机．

考查方向

本题考查了离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列

解题思路

（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；

（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．

易错点

第一问较简单，明确二项分布原理就不易出错，第二问分类出错

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：

（Ⅰ）若从抗战老兵中随机抽取2人进行座谈，求这2人参加纪念活动的环节数不同的概率；

（Ⅱ）某医疗部门决定从这些抗战老兵中（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3）随机抽取3名进行体检，设随机抽取的这3名抗战老兵中参加三个环节的有名，求的分布列和数学期望．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于概率中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对应取值的概率．

（Ⅰ）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，

根据题意可知，

由对立事件的概率计算公式可得，

故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为．

（Ⅱ）根据题意可知随机变量的可能取值为0,1,2,3且

，

则随机变量的分布列为：

则数学期望

考查方向

本题考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，涉及到概率计算，是高考题中的高频考点．

解题思路

本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望，解题步骤如下：

1、利用概率公式求解。

2、利用离散型随机变量的概率分布列和数学期望公式求解。

易错点

概率计算易错。

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.在二项式（ + ）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

展开式的通项为，展开式的前三项为

∵前三项的系数成等差数列，

∴解得，展开式共9项，所以展开式的通项为

当的指数为整数时，为有理项，所以当时，的指数为整数，既第1，5，9项为有理项共有3个，所以有理项不相邻的概率

考查方向

本题主要考查了二项式定理应用、等差数列、概率

解题思路

利用二项式定理求出项数N，然后利用不相邻求概率即可

易错点

1、二项式系数和项的系数弄混淆；

2不相邻问题

知识点

等差数列的性质及应用排列、组合及简单计数问题求二项展开式的指定项或指定项的系数古典概型的概率

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

16．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分。两人4局的得分情况如下：

（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；

（Ⅱ）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）

（Ⅲ），，．

解析

试题分析：本题属于概率与统计的基本问题，题目的难点是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求,(2)要注意正确求出每个变量对应的概率，（3）要注意利用离散型随机变量的分布列的性质验证分布列的正确性。

（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件，

由题意，得，

所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为．

（Ⅱ）解：由题意，的所有可能取值为，，，，

且，，，，

所以的分布列为：

所以．

（Ⅲ）解：的可能取值为，，．

考查方向

本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差，离散型随机变量的分布列大体有以下几类：

1．两点分布，

2．二项分布，超几何分布．

解题思路

本题考查离散型随机变量的分布列、期望与方差，解题步骤如下：

1．利用古典概型的概率公式进行求解；

2．写出随机变量的所有可能取值，分别求出每个变量对应的概率；

3．列表得到随机变量的分布列；

4．根据数学期望公式求其期望；

5．列出可能取值。

易错点

第二问中每个随机变量的概率不完全正确，导致结果错误。

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差众数、中位数、平均数极差、方差与标准差

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