古典概型的概率_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m个红球与10-m个白球，盒子B中有10-m个红球与m个白球(0<m<10).

（1）分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数；

①请写出随机变量ξ的分布列，并证明E(ξ)等于定值；

②当m为何时， D(ξ)取到最小值，并求出最小值。

（2）在盒子A中不放回地摸取3个球，事件E：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球，事件F：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，若概率P(E)=P(F)，求m的值。

正确答案

见解析

解析

（1）分布列为：

为定值。………5′

，

∵1≤m≤9(m∈N*)，∴当m=1或m=9，时，D(ξ)最小，最小值为.………8′

（2），

∵P(E)=P(F)，∴，∴m=5.………12′

知识点

古典概型的概率

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有甲、乙两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，为估计各项技术的达标概率，现从中抽取1000个零件进行检验，发现两项技术指标都达标的有600个，而甲项技术指标不达标的有250个。

（1）求一个零件经过检测不为合格品的概率及乙项技术指标达标的概率；

（2）任意抽取该零件3个，求至少有一个合格品的概率；

（3）任意抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求随机变量ξ的分布列。

正确答案

见解析。

解析

（1）记一个零件中甲项技术达标的事件为A，乙项技术达标的事件为B

由题意可得，两项技术都达标的概率为P（AB）=

甲项技术不达标的概率P（）==

因此一个零件经过检测不合格的概率为1﹣P（AB）=1﹣=

由独立性可知，P（AB）=P（A）P（B）

∴P（B）===

即乙项技术指标达标的概率为

（2）任意抽取该种零件3个，至少有一个合格品的概率1﹣=

（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4

P（ξ=0）==

P（ξ=1）==

P（ξ=2）==

P（ξ=3）==

P（ξ=4）==

∴ξ的分布列为

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望=_____（结果用最简分数表示）.

正确答案

解析

略

知识点

古典概型的概率

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

某品牌汽车4店经销，，三种排量的汽车，其中，，三种排量的汽车依次有5，4，3款不同车型，某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能。

（1）求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；

（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则

所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为，

（2）随机变量的所有可能取值为1，2，3.

所以的分布列为

，

。

所以的概率分布为

数学期望。

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

任意找两人玩这个游戏，共有中猜字结果，其中满足的有如下情形：

①若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则；⑤ 若，则；⑥ 若，则，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为.

知识点

古典概型的概率

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图所示2X2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，

对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，

则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，

则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=。

故选D。

知识点

古典概型的概率

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

徐州古称彭城，三面环山，历来是兵家必争之地，拥有云龙山、户部山、子房山和九里山等四大名山，一位游客来徐州游览，已知该游客游览云龙山的概率为，游览户部山、子房山和九里山的概率都是，且该游客是否游览这四座山相互独立。

（1）求该游客至多游览一座山的概率；

（2）用随机变量表示该游客游览的山数，求的概率分布和数学期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）记“该游客游览座山”为事件，，

则，

，

所以该游客至多游览一座山的概率为，

（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，

，，

，

所以的概率分布为

故。

知识点

古典概型的概率

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为0的概率 .

正确答案

解析

略

知识点

古典概型的概率

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：

（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（2）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

正确答案

（1）（2）

解析

解析：记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，

相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，

且

（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=

（2）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率

P=

知识点

古典概型的概率相互独立事件的概率乘法公式

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次，摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券，所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖，记X表示一次摇奖获得的购物券金额。

（1）求摇奖一次获得一等奖的概率；

（2）求X的概率分布列和数学期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，

连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况。

∴P（A）===。

故摇奖一次获得一等奖的概率为。

（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50。

P（X=1000）=，P（X=500）==，

P（X=200）==，

P（X=50）===，

∴X的分布列如下：

EX==。

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差

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