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题型:填空题
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填空题 · 5 分

定义运算a⊕b=,则关于非零实数x的不等式(x+)⊕4≥8(x⊕)的解集为  。

正确答案

(﹣∞,0)∪(0,]∪[2,+∞)

解析

当x>0时,≥4,令x﹣=>0得﹣1<x<0或x>1,令x﹣<0得x<﹣1或0<x<1,

由定义知,⊕4=,x⊕=

所以(x+)⊕4≥8(x⊕)⇔

⇔0<x≤或x≥2或﹣1≤x<0或x<﹣1,

所以不等式的解集为:(﹣∞,0)∪(0,]∪[2,+∞)

知识点

利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数有极小值

(1)求实数的值;

(2)若,且对任意恒成立,求的最大值;

(3)当时,证明:

正确答案

见解析

解析

(1)

,令

的极小值为,得,                    4分

(2)当时,令

,故上是增函数

由于 存在,使得

,知为减函数;,知为增函数。

 

  ,,所以=3.                             9分

(3)要证即证

即证 ,令,得

 为增函数,

 ,所以

  是增函数,又 =  ,               14分

知识点

利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数证明不等式
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数时的图象,且图象的最高点为,赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD,且//;赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE。

(1)求的值和的大小;

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路EF上,一个顶点在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧上,求“矩形草坪”面积的最大值,并求此时点的位置。

正确答案

见解析

解析

(1)由条件,得,  ∵,∴

∴ 曲线段FBC的解析式为

当x=0时,,又CD=,∴

(2)由(1)知,当“矩形草坪”的面积最大时,

点P 在弧DE上,故

,“矩形草坪”的面积为

=

,故取得最大值

知识点

利用导数求函数的最值
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数.

(1)若,求函数处的切线方程;

(2)当时,求证:.

正确答案

见解析

解析

(1)当时,

故函数

(2)令

只需证明时恒成立

 ①  

,即  ②  ……10分

由①②知,时恒成立

故当时,12分

知识点

利用导数求函数的最值
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线

(1)当时, 求的最大值;

(2)设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 求证:

正确答案

见解析

解析

(1)

单调递增,单调递减,

(2)不妨设,要证,

只需证   (﹡)

将(﹡)两边同乘以得,

只需证,即证

只需证

 ,    ,

单调递增。

,即单调递增。

,即

知识点

利用导数求函数的最值
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