- 利用导数求函数的最值
- 共345题
定义运算a⊕b=,则关于非零实数x的不等式(x+
)⊕4≥8(x⊕
)的解集为 。
正确答案
(﹣∞,0)∪(0,]∪[2,+∞)
解析
当x>0时,≥4,令x﹣
=
>0得﹣1<x<0或x>1,令x﹣
<0得x<﹣1或0<x<1,
由定义知,⊕4=
,x⊕
=
,
所以(x+)⊕4≥8(x⊕
)⇔
或
或
或
⇔0<x≤或x≥2或﹣1≤x<0或x<﹣1,
所以不等式的解集为:(﹣∞,0)∪(0,]∪[2,+∞)
知识点
已知函数有极小值
。
(1)求实数的值;
(2)若,且
对任意
恒成立,求
的最大值;
(3)当时,证明:
。
正确答案
见解析
解析
(1),
令,令
故的极小值为
,得
, 4分
(2)当时,令
,
令,
,故
在
上是增函数
由于,
存在
,使得
。
则,知
为减函数;
,知
为增函数。
又
,
,所以
=3. 9分
(3)要证即证
即证 ,令
,得
令 为增函数,
又 ,所以
是增函数,又
=
, 14分
知识点
如图,某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数时的图象,且图象的最高点为
,赛道的中间部分为长
千米的直线跑道CD,且
//
;赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE。
(1)求的值和
的大小;
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路EF上,一个顶点在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧上,求“矩形草坪”面积的最大值,并求此时
点的位置。
正确答案
见解析
解析
(1)由条件,得,
, ∵
,∴
。
∴ 曲线段FBC的解析式为。
当x=0时,,又CD=
,∴
。
(2)由(1)知,当“矩形草坪”的面积最大时,
点P 在弧DE上,故。
设,
,“矩形草坪”的面积为
=。
∵,故
取得最大值
。
知识点
已知函数.
(1)若,求函数
在
处的切线方程;
(2)当时,求证:
.
正确答案
见解析
解析
(1)当时,
故函数
即
(2)令,
只需证明时恒成立
①
设
∴
∴,即
② ……10分
由①②知,时恒成立
故当时,
12分
知识点
已知函数的图象为曲线
, 函数
的图象为直线
。
(1)当时, 求
的最大值;
(2)设直线与曲线
的交点的横坐标分别为
且
, 求证:
。
正确答案
见解析
解析
(1)
单调递增,
单调递减,
(2)不妨设,要证
,
只需证 (﹡)
,
,
,
将(﹡)两边同乘以得,
,
只需证,即证
,
令,
,
只需证,
,
令 ,
,
在
单调递增。
,即
,
在
单调递增。
,即
,
。
知识点
扫码查看完整答案与解析